（１）対頂角は等しい

∠ＡＥＣ ＝ ∠ＤＥＢ　の証明
　　　

　　　∠ＡＥＣ ＋ ∠ＡＥＤ ＝ 180°
　　　∠ＤＥＢ ＋ ∠ＡＥＤ ＝ 180°
　よって、
　　　∠ＡＥＣ ＋ ∠ＡＥＤ ＝ ∠ＤＥＢ ＋ ∠ＡＥＤ
　よって、
　　　∠ＡＥＣ ＝ ∠ＤＥＢ

（２）三角形の内角の和は180°

□ＡＢＣＤ の内角の和が360°であることの証明
　　　
　　　　　　　　　　ＢＤ // ＥＦ // ＧＨ

　　　∠ＡＢＤ ＝ ∠ＢＡＥ
　　　∠ＡＤＢ ＝ ∠ＤＡＦ
　よって、
　　　∠ＢＡＤ ＋ ∠ＡＢＤ ＋ ∠ＡＤＢ ＝ 180°

　　　∠ＣＢＤ ＝ ∠ＢＣＧ
　　　∠ＣＤＢ ＝ ∠ＤＣＨ
　よって、
　　　∠ＢＣＤ ＋ ∠ＣＢＤ ＋ ∠ＣＤＢ ＝ 180°

　したがって、
　　　□ＡＢＣＤ の内角の和
　　　　　　　＝ ∠ＢＡＤ ＋ ( ∠ＡＢＤ ＋ ∠ＣＢＤ ) ＋ ∠ＢＣＤ ＋ ( ∠ＡＤＢ ∠ＣＤＢ)
　　　　　　　＝→　( ∠ＢＡＤ ＋ ∠ＡＢＤ ＋ ∠ＡＤＢ ) ＋ ( ∠ＢＣＤ ＋ ∠ＣＢＤ ＋ ∠ＣＤＢ )
　　　　　　　＝→　180° ＋ 180° ＝→　360°

（３）平行線の同位角は等しい

∠ＨＥＢ ＝ ∠ＥＦＱ の証明
　　　
　　　　　　　ＡＢ // ＣＤ
　　　　　　　ＡＢに垂直な補助線分ＰＦを引く。
　　　　　　　ＣＤに垂直な補助線分ＥＱを引く。

　三角形の内角の和は180°だから、
　　　ＰＦはＣＤに垂直である。 ・・・ �@
　　　ＥＱはＡＢに垂直である。
　したがって、
　　　□ＰＦＱＥは長方形である。
　よって、
　　　△ＰＦＥ と △ＱＥＦ は合同である。
　したがって、
　　　∠ＥＦＱ ＝ ∠ＦＥＰ
　対頂角は等しいので、
　　　∠ＨＥＢ ＝ ∠ＦＥＰ
　よって、
　　　∠ＨＥＢ ＝ ∠ＥＦＱ

（４）「平行線の同位角は等しい」は証明になっていない

（２）と（３）の証明は、鶏が先か卵が先かの関係になっています。
そこで、（３）の �@ は証明することのできない、公準であると見なされています。
興味のある方は「平行線公準問題」について調べてみてください。