【 問 題 】

２つの互いに素な数の和は２つの数と互いに素であることを証明せよ。

【 解 答 】

互いに素とは、最大公約数が１であるということです。
背理法を使って証明します。
全体集合を自然数とします。
a と b は互いに素であるとします。
a ＋ b ＝ c とします。
a と c は互いに素でないと仮定します。
すると、次のように置くことができます。
　　a ＝ n k　かつ　c ＝ m k　( ただし、 k ＞ 1　かつ　n ＜ m　)
b ＝ c−a　なので、次の式が成り立ちます。
　　b ＝ m k−n k
　　　＝→ k ( m−n )
よって、b は k という倍数を持つことが分かります。
a も k という倍数を持つので、a と b は互いに素ではないことが分かります。
というわけで、a と c は互いに素でないと仮定すると、a と b は互いに素であることに矛盾します。
こうして、a と c は互いに素であることが分かりました。
a と b とを入れ替えても同じです。
というわけで、２つの互いに素な数の和は２つの数と互いに素であることが証明されました。