確率 へ戻る【 問題 １ 】 （ 念願成就の期待値の基礎問題 ）
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１回転する毎に ０ 〜 ９ のうちどれか１個の整数を無作為に出力してくれる器械がある。
平均で何回転させると０を１回ゲットすることができるか？
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１回転当たり０を１個ゲットする確率は 0.1 なので、「 0.1 × １個 ＝ 0.1 個 だから、１回転当たり０を得る期待値は常に 0.1 個である。」と考える。すると、「 ０を１個獲得するためには、器械を10回転させる必要がある。」ということになる。 したがって、答えは 10 回転 である。
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念願成就の期待値を Ｅ 回 とすると、 次の式が成り立つ。
Ｅ ＝ 0.1 × １ ＋ 0.9 × （ １ ＋ Ｅ ）
＊ １回目に０が出る場合における期待値 と
１回目に０以外が出る場合における期待値 との 確率的加重平均
よって、 Ｅ ＝ 10
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一般に、 1 回試行あたりの念願成就確率を ｐ とし、念願成就の期待値を Ｓ 回 とすると、 次の式が成り立つ。
この公式に当てはめて、 答えは 10 回 となる。
プログラムの内容 ：
【 問題 ２ 】 （ コレクション問題 その１ ）
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１ 回転する毎に ０ 〜 ９ のうちどれか １ 個の整数をアットランダムに選出してくれる器械がある。 平均で何回転させると ０ 〜 ９ の全ての整数を揃えることができるか？
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最初の １ 回転で新たな ０ 〜 ９ の整数をゲットする確率は １ なので、 最初の整数を獲得する期待値を １ にするためには器械を １ 回転させる必要がある。 ２番目の整数をゲットする確率は 9/10 なので、 ２番目の整数を獲得する期待値を １ にするためには器械を 10/9 回転させる必要がある。 ３番目の整数をゲットする確率は 8/10 なので、 ３番目の整数を獲得する期待値を １ にするためには器械を 10/8 回転させる必要がある。 ４番目の ・ ・ ・ ・ ・ ・ 最後の整数をゲットする確率は 1/10 なので、 最後の整数を獲得する期待値を １ にするためには器械を 10 回転させる必要がある。 というわけで、 すべての整数を揃える期待値を １ にするためには、 必要な回転数の総和をとって、 次のようになる。
1 + 10/9 + 10/8 +10/7 + 10/6 + 10/5 + 10/4 + 10/3 + 10/2 + 10 ≒→ 29.29
次の10万回試行シミュレーションで確かめてみよう。
プログラムの内容 ：
コレクション問題を漸化式を使って解く方法については、 確率 ＞ 全ての種類が揃うまでの回数 をご覧ください。
【 問題 ３ 】 （ コレクション問題 その２ ）
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１ 回転する毎に ０ 〜 ９ のうちどれか １ 個の整数をアットランダムに選出してくれる器械がある。 平均で何回転させると ５以下の数と６以上の数を少なくとも １ つ以上ずつ揃えることができるか？
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１ 回転で ０ 〜 ５ の整数をゲットする確率は 3 / 5 であり、 ６ 〜 ９ の整数をゲットする確率は 2 / 5 である。 よって、 ０ 〜 ５ の整数が出るまでの期待値は 5/3 回 であり、 ６ 〜 ９ の整数が出るまでの期待値は 5/2 回 である。 したがって、 求める答えは、
3 / 5 × （ １ ＋ 5 / 2 ） ＋ 2 / 5 × （ １ ＋ 5 / 3 ） ＝→ 19 / 6（ 回 ）
※ １回転目に５以下の数をゲットした場合の期待値 と
１回転目に６以上の数をゲットした場合の期待値 との 確率的加重平均
次の10万回試行シミュレーションで確かめてみよう。