【 問 題 】

全体の人数が n ( n は素数 ) 人であるとき、そこから何人かを選ぶ組み合わせのすべての場合の数は、選ぶ人数に関係なく、全て n の倍数になることを証明せよ。

【 解 答 】

n 人の中から m 人を選ぶ組み合わせのすべての場合の数は、_nＣ_m である。
　　　_nＣ_m ＝　n! / (n−m) ! m!
_nＣ_m は自然数である。n は素数なので (n−m) ! とも m! とも互いに素である。よって、n は通分されずにそのまま分子に残る。したがって、n は _nＣ_m の約数である。よって、_nＣ_m は n で割り切れる。というわけで、組み合わせのすべての場合の数は、選ぶ人数に関係なく、全て n の倍数になることが解った。