問題 1.　 は無理数であることを証明せよ。

（解答）

は有理数であると仮定すると、 次のように表すことができる。
　　　
よって、
よって　b² は　5 の倍数である。よって、 b は 5 の倍数である。 よって、 b² は 25 の倍数である。
よって、 a は 5 の倍数である。
よって、 a と b は互いに素ではない。
これは仮定に矛盾する。　よって、　 は有理数ではない。　よって、　 は無理数である。

問題 2.　無理数と有理数の和は無理数であることを証明せよ。

（解答）

a, b, c, d を整数とする。
無理数Ａ と 有理数 の和が有理数 であると仮定すると、 次のように表すことができる。
　　　
　　　
よって、 Ａは有理数である。
これは矛盾である。 よって、 無理数と有理数の和は有理数ではない。 よって、 無理数と有理数の和は無理数である。

問題 3.　無理数と有理数の積は無理数であることを証明せよ。

（解答）

a, b, c, d を整数とする。
無理数Ａ と 有理数 の積が有理数 であると仮定すると、 次のように表すことができる。
　　　
　　　
よって、 Ａは有理数である。
これは矛盾である。 よって、 無理数と有理数の和は有理数ではない。 よって、 無理数と有理数の和は無理数である。

問題 4.　正五角形の頂角の大きさを求めよ。

（解答）

正五角形は３つの三角形に区分できるので、 頂角の総計は３πである。
したがって、 正五角形の頂角は である。

問題 5.　　正五角形の一辺の長さを １ とすると、 対角線の長さは であること証明せよ。

（解答）

参照 ：　幾何学 ＞ 正五角形の黄金比

問題 6.　長さ １ の２つの辺が作る角が である三角形の残りの一辺の長さを求めよ。

（解答）

求める辺の長さの２乗は余弦定理より、
　　　
したがって答えは、
　　　

問題 7.　 は無理数であることを証明せよ。

（解答）

問題 4.〜 6. の答えより、
　　　
したがって、
　　　
問題 1.〜 3.　の答えより、
　　　 は無理数である。
よって、 は無理数である。


　の別の証明 ：
　　　
　　　sin36°＝ cos54°
　　　θ ＝ 18°とすると、
　　　　　　sin２θ ＝ cos３θ
　　　２倍角の公式 と ３倍角の公式 より、
　　　　　　２sinθ cosθ ＝ ４(cosθ)³ − ３cosθ
　　　cosθ ≠ ０ だから、
　　　　　　２sinθ ＝ ４(cosθ)² − ３
　　　よって、 ２sinθ ＝ ４｛ １ − (sinθ)² ｝ − ３
　　　よって、 ４(sinθ)² ＋ ２sinθ − １ ＝ ０
　　　よって、
　 　　　　　　
　　　−１ ＜ sinθ ＜ １　だから、
　　　　　　
　　　sin18°＝ cos72°＝ −cos108°
　　　　　　
　　　よって、
　　　　　　
　　　よって、