３つの x に関する関数があり、それらの関係は次の２式で与えられる。
　　　　　　

　だから、f₁(x) は 偶関数 である。
　だから、f₂(x) は 奇関数 である。
　　　※ 偶関数のグラフは y 軸に対して対称です。偶関数の代表は cos x
　　　※ 奇関数のグラフは 原点を中止に180°回転させると元のグラフに重なります。奇関数の代表は sin x


つまり、
　　　
したがって、
　　　
　　　つまり、
　　　　　

�@ と �A を辺々かけて、
　　　

ここで、３つの関数を次のように置く。
　　　　　　
すると、
　　�@ より
　　　　
　　�A より
　　　　
　　�B より
　　　　

実は、　　 かつ 　
　　　　　　※　cosh (x) は　e^x と e^−x で作られる 偶関数
　　　　　　※　sinh (x) は　e^x と e^−x で作られる 奇関数
　　�@ より
　　　　　　← ※ この式が本質
　　�A より
　　　　
　　�B より
　　　　
　　　　この式は 双曲線： x²−y² ＝ 1　を表している、