「シェリルの誕生日」を解くために
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2025.09.13

　私たちは、Ａさん、Ｂ君、Ｃ君 の３人がテーブルを囲んで話しているのを、隣のテーブルから観察しています。
　Ａさんは次の表を２人に見せ、自分の誕生日が 〇印 を付けた中にあることを伝えました。

　次に、ＡさんはＢ君の耳元でこっそり何かつぶやいたかと思うと、今度はＣ君の耳元でこっそりとつぶやきました。

　それから、Ａさんはこう言いました。
　「 私は今、Ｂ君には私の生まれた月を伝え、Ｃ君には私の生まれた日を伝えたよ。 そこで私の誕生日が分かったら、分かり次第だまって手を挙げてね。」

　すると、約３分間の沈黙後にＣ君が手を挙げました。すると間もなくＢ君も手を挙げました。

　はたして、Ａさんの誕生日はいつなのでしょうか？

　Ｂ君はＡさんが何月生まれかを知っていて、Ｃ君はＡさんが何日生まれかを知っていて、私たちはそれらのことを知りません。この表と彼らのリアクションのみで、本当にＡさんの誕生日が分かるのでしょうか？　考えていきましょう。

　まず、私たちはＣ君がすぐに手を挙げないのを見て、Ａさんの誕生日が５日と６日と７日でないことを理解します。この時点でＢ君もそのことは認識しているはずです。すると今度は、私たちはＢ君がなかなか手を挙げないのを見て、Ａさんの誕生日が１月と２月と５月でないことを理解します。この時点でＣ君もそのことは理解しているはずです。したがって、私たちは次の範囲だけで考えればよくなりました。

　すると、Ｃ君がＡさんの誕生日がいつなのか分かって手を挙げるのですが、このことによって、まず、Ｂ君と私たちはＡさんの誕生日が１日でないことを理解します。すると、Ｂ君がＡさんの誕生日がいつなのか分かって手を挙げるのですが、このことによって、まず、私たちはＡさんの誕生日が４月でないことを理解します。すると、私たちはＡさんの誕生日がいつなのか分かります。それは ３月３日 です。


　では、Ａさんの誕生日が分かったところで、今度はＢ君とＣ君の立場になって、最初からもう一度考えてみましょう。
　まず、Ｂ君には Ａさんの誕生日が ３月１日 か ３月３日 のどちらかであるという情報が与えられ、Ｃ君には Ａさんの誕生日が １月３日 か ３月３日 のどちらかであるという情報が与えられます。したがって、彼らの思いは次のようになります。

Ａさんの生まれた月を知っているＢ君の思い ：
　　　Ａさんの誕生日は ３月１日 か ３月３日 のどちらかである。
　　　Ｃ君は 「 １日 」 または 「 ３日 」 と聞かされている。
　　　したがって、Ｃ君が候補に上げているＡさんの誕生日は次の２パターンだ。
　　　　　３月１日　か　４月１日
　　　　　１月３日　か　３月３日
Ａさんの生まれた日を知っているＣ君の思い ：
　　　Ａさんの誕生日は １月３日 か ３月３日 のどちらかである。
　　　Ｂ君は 「 １月 」 または 「 ３月 」 と聞かされている。
　　　したがって、Ｂ君が候補に上げているＡさんの誕生日は次の２パターンだ。
　　　　　１月３日　か　１月７日
　　　　　３月１日　か　３月３日
　というわけで、実際にＢ君やＣ君の身になって考えてみると、答えが半分わかっているだけに、かえって私たちよりも事実を認識しづらくなっていることが解ります。


　 Ａさんの誕生日を、 Ｂ君、Ｃ君、そして私たちのそれぞれがどのようにして推理していったのか？　まずそれぞれに異なる情報があって、その上にみんなに共通する情報とそれに対する他人のリアクションという新たな情報が加わり、さらにまたそれに対する他人のリアクションという新たな情報が加わって情報量が増えていき、真相にたどりつくわけですが、人によってその推理内容が微妙に異なることは興味深いと思います。私たちはそれぞれに自分の世界を持っていて、それが情報でつなげられながら自分の世界が動かされているんだなと思います。縁起（ 依他起性 ）というものが少し解ったような気がしました。私たちの脳は常に情報を「 分別 」によって自分勝手な色づけをしていますが、「 第三者的情報（ 他人が観察したことをそれに他人の分別が加わって伝わってきた情報 ）」 は 「 当事者的情報 」 以上に私たちを迷わしているんじゃないかと思います。


　あっ！ 余計なことを言ったみたいです。それはさておき、上記の問題によく似た問題があります。それは、九九表の数当てゲームです。
　ＣさんがＡ君とＢ君に九九表を見せて言います。「この中に書かれてある２桁の数を１つ私は心に決めています。それがどの数かを２人に当ててもらいます。」
　その後ＣさんはＡ君の耳元で内緒声でこう言います。「その数の10の位の数は〇よ。」そして続いてＣさんはＢ君の耳元で内緒声でこう言います。「その数の１の位の数は□よ。」それからＣさんは２人にこう言います。「私はたった今、Ａ君には私が思っている数の10の位の数を教え、Ｂ君には私が思っている数の１の位の数を教えたわ。これで私が思っている数が分かるはずよ。分かったら分かったと言って頂戴。でも、私が聞くまでその数は言わないでね。」それから、30秒後、Ａ君は「分かった。」と言いました。それからさらに 30秒後、Ｂ君も「分かった。」と言いました。その数は何でしょう？

　答えは、64 です。
　Ａ君もＢ君もすぐに分かったと言わなかったので、Ｃさんの思っている数は 27 と 63 と 72 と 81 ではないことが分かります。
　30秒後にＡ君が「分かった。」と言ったことより、Ｃさんの思っている数は 64 であることが分かります。その理由は、27 と 63 と 72 と 81 を除いた九九表の中で、10の位の数が同じであるものが存在しないのは 64 だけだからです。だから、さらに 30秒後、Ｂ君も「分かった。」と言ったのです。

　Ａ君はこう考えたのです。「答えは 63 または 64 である。もし 63 ならば、１の位の数が３の２桁の数は 63 だけだから、Ｂ君は即座に分かったというだろう。Ｂ君が分からないということは、64 だ。」
　Ｂ君はこう考えました。「答えは 14 または 24 または 54 または 64 である。もし、Ｃさんが私に３とか７とかの数を教えてくれてたのだったら、私はすぐにＣさんの思っている数が分かるのだが。私がすぐに分かったと言わないことを見て、Ａ君はＣさんの思っている数が 27 と 63 でないことは分かっただろう。30秒後にＡ君が分かったということは、27 と 63 を除いた九九表の中の 10の位の数が１または２または５または６の数の２桁の数の中で、10の位の数が同じであるものが存在しない数が１つだけあるはずだ。あった。それは 64 だ。」


　前置きが随分と長くなってしまいましたが、では、いよいよ 数学オリンピックの過去問「 シェリルの誕生日 」に挑戦してみましょう。

　アルバートには誕生した月のみが教えられ、バーナードには誕生した日のみが教えられます。問題では、表を見せられたとたんに、アルバートが「 ２人ともシェリルの誕生日がいつなのか絶対に分からないよ。」と言います。すると、まもなくバーナードが「 ああ！ シェリルの誕生日がいつなのか分かったよ。」と言います。すると、アルバートも「 今、僕もシェリルの誕生日がいつなのか分かったよ。」と言います。

　では、解いていきましょう。まず、先ほどの問題でやったことをしてみます。最初のうち２人とも答えが分からなかったわけですから、除外される日が分かります。

　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　

　上の表を前提に、アルバートが「 ２人ともシェリルの誕生日がいつなのか絶対に分からないよ。」と言ったということを考えると、その通りで、それから先に全く進めなくなってしまいます。アルバートがここまで洞察して発した言葉であるならば、彼の言葉の行間には何も意味はありません。しかし、彼はここまで洞察せずに言葉を発しているので、彼の言葉には意味があるのです。表を見せられたとたんにアルバートは言葉を発しています。そこのところが味噌なのです。「しばらくして」ではなく「表を見せられたとたんに」なのです。

　そこで、再び、元の表に戻りましょう。
　表を見せられたとたんに、アルバートが「 ２人ともシェリルの誕生日がいつなのか絶対に分からないよ。」と言ったということは、「 僕もそうなんだけど、この表を一目しただけでは、バーナードがシェリルの誕生日がいつなのか分かる可能性は０だよ。」と言ったということに等しくて、「 もし、５月または６月がシェリルの誕生日なら、バーナードがすぐに分る可能性があるのだけども、残念ながらシェリルの誕生日は５月でも６月でもないよ。」と言ったのに等しいのです。


　上の表からバーナードが「 ああ！ シェリルの誕生日がいつなのか分かったよ。」と言ったということは「 シェリルの誕生日は14日ではない。」と言ったのに等しいのです。だから、その後すぐにアルバートもシェリルの誕生日が分かったということは、アルバートには８月でなくて７月であるということが教えられていたということです。こうして、シェリルの誕生日は ７月16日 であることが判明したわけです。

バーナードの思い： アルバートの思い： シェリルの誕生日の解法を十進BASIC のプログラムにしてみました。