（１） いろんな対応の例

座標変換：　1対1対応
　点があり、その位置の表記方法がそれぞれの座標系で異なっている。それを 1 : 1 対応させること。


合同式の世界：　多対1対応
　集合Ａ、集合Ｂ、集合Ｃ、・・・ があり、それらの交わりが全くないとき、集合Ａの要素はすべてＡで表し、集合Ｂの要素はすべてＢで表し、集合Ｃの要素はすべてＣで表し、・・・ というように加工すること。その加工は 多対1対応 になる。
５を法とすると、1 や 6 や 11 や 16 は 1 に対応する。

（２） 集合Ａから集合Ｂへの写像

単射：　集合Ａのすべての要素は集合Ｂの１つの要素と対応しており、かつ、
　　　集合Ｂの各要素は２つ以上の集合Ａの要素と対応していない。
全射：　集合Ａのすべての要素は集合Ｂの１つの要素と対応しており、かつ、
　　　集合Ｂの各要素は１つ以上の集合Ａの要素と対応している。
全単射：　集合Ａのすべての要素は集合Ｂの１つの要素と対応しており、かつ、
　　　　集合Ｂのすべての要素は集合Ａの１つの要素と対応しいる。
　　　　集合Ａから集合Ｂへの写像が全単射であるとき、次のことが言えます。
　　　　　　「 集合Ａの要素 と 集合Ｂの要素 とは １対１対応である。」

（３） 集合の濃度

　全体集合を整数とし、集合Ａの要素は n（ 0 ＜ n ＜ 1000 ）で表され、集合Ｂの要素は 2n（ 0 ＜ n ＜ 500 ）で表されるとき、集合Ｂは集合Ａに含まれる。
集合Ａから集合Ｂのへの写像 と 集合Ｂから集合Ａへの写像　(　n　←→　2n　) ：
集合Ａの要素 と 集合Ｂの要素 とは 1対1対応ではない。
集合Ａの要素 に 集合Ｂの要素 と対応していないものがあるからだ。
集合Ａと集合Ｂの要素の数も濃度もその比は 2：1 である。


　全体集合を整数とし、集合Ａの要素は n（ 0 ＜ n ＜ 500 ）で表され、集合Ｂの要素は 2n（ 0 ＜ n ＜ 500 ）で表されるとき、集合Ａと集合Ｂは交わる。交わる部分の要素は 500未満の偶数 である。
集合Ａから集合Ｂのへの写像 と 集合Ｂから集合Ａへの写像　(　n　←→　2n　) ：
集合Ａの要素 と 集合Ｂの要素 とは 1対1対応である。
集合Ａと集合Ｂの要素の数も濃度も同じである。


　全体集合を整数とし、集合Ａの要素は n（ 0 ＜ n ）で表され、集合Ｂの要素は 2n（ 0 ＜ n ）で表されるとき、集合Ｂは集合Ａに含まれる。
集合Ａから集合Ｂのへの写像 と 集合Ｂから集合Ａへの写像　(　n　←→　2n　) ：
集合Ａの要素 と 集合Ｂの要素 とは 1対1対応である。
集合の要素の数は同じだが、集合Ａと集合Ｂの要素間の間隔は 1：2 である。
でも、２つの集合の濃度は等しい。


　全体集合を整数とし、集合Ａの要素は n（ 0 ＜ n ）で表され、集合Ｂの要素は n²（ 0 ＜ n ）で表されるとき、集合Ｂは集合Ａに含まれる。
集合Ａから集合Ｂのへの写像 と 集合Ｂから集合Ａへの写像　(　n　←→　n²　) ：
集合Ａの要素 と 集合Ｂの要素 とは 1対1対応である。
集合の要素の数は同じだが、集合Ｂでは要素間の間隔が数が大きくなるにつれ拡大していく。
でも、２つの集合の濃度は等しい。


　※ 自然数の集合は実数の集合に含まれます。 自然数の集合の濃度 ＜ 実数の集合の濃度　です。