数理論 へ戻る【 問 題 １ 】
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全体集合を自然数とする。( 0 は含まない )
「 ａ と ｂ が互いに素であるならば、
と 
は互いに素である。」という命題が真であることを証明せよ。-
この命題を「 包含命題形式 」に変換すると、 次のようになります。
「 ａ と ｂ のペア が 最大公約数が １ であるペアで構成される集合の要素 であるならば、
と のペア も 同じ集合の要素 である。」この包含命題の前提命題 ：
「 ａ と ｂ のペア は 最大公約数が １ であるペアで構成される集合 に属する。」
この包含命題の結論命題 ：
「
と のペア は 最大公約数が １ であるペアで構成される集合 に属する。」これから背理法を用いて証明していきます。 まず、 結論命題の否定 を 結論命題 に置き換えた命題が真であると仮定します。 つまり、
「 ａ と ｂ は互いに素であるならば、
と は互いに素でない。」という命題が真であると仮定します。すると、 結論命題の否定より、 次の式たちが成り立ちます。
ａ ＋ ｂ ＝ ｋα ・ ・ ・
ａｂ ＝ ｋβ ・ ・ ・
ただし、 ｋ ＞ 1 α と β は互いに素
ａ と ｂ は互いに素ですので、
より、 ａ と ｂ のうちどちらか１つだけが ｋ の倍数になります。ａ が ｋ の倍数である場合、 次の式が成り立ちます。
ａ ＝ ｋｎ ・ ・ ・
を に代入すると、ｂ ＝ ｋ （ α−ｎ ）
この式より、 ｂ は ｋ の倍数になります。 ということは、 ａ と ｂ は互いに素であるという前提命題に矛盾することになります。
ｂ が ｋ の倍数である場合も同様にして、 ａ と ｂ は互いに素であるという前提命題に矛盾することになります。
したがって、 最初の仮定が間違っていたことになります。
こうして、「 ａ と ｂ が互いに素であるならば、
と は互いに素である。」という命題が真であることが証明されました。-
全体集合を自然数とする。( 0 は含まない )
a と b が互いに素ならば、a と b と a＋b と a×b は互いに素であることを証明せよ。
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（１） a と a＋b が互いに素であることの証明
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a と a＋b は互いに素ではないと仮定する。
すると、 a ＝ pn a＋b ＝ pm と置くことができる。 ただし、p＞1 n＜m n と m は互いに素
すると、２つの式より、 b ＝ p(m−n)
すると、a と b は互いに素ではないことになる。これは矛盾だ。
よって、a と a＋b は互いに素である。
b と a＋b が互いに素であることの証明も同様にしてできる。
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a と a×b は互いに素ではないと仮定する。
すると、 a ＝ pn a×b ＝ pm と置くことができる。 ただし、p＞1 n＜m n と m は互いに素
すると、２つの式より、 b ＝ m/n
すると、b は自然数ではないことになる。これは矛盾だ。
よって、a と a×b は互いに素である。
b と a×b が互いに素であることの証明も同様にしてできる。
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a＋b と a×b は互いに素ではないと仮定する。
すると、 a＋b ＝ pn a×b ＝ pm と置くことができる。 ただし、p ＞ 1 n と m は互いに素
a×b ＝ pm より、 a または b は p の倍数である。
a が p の倍数であると仮定すると、 a ＝ pk （ k < n ) と置くことができる。
これを a＋b ＝ pn に代入して、 b ＝ p(n−k)
すると、b と a＋b は互いに素ではないことになる。（１）より、これは矛盾だ。
b が p の倍数であると仮定しても同様の矛盾が生じる。
よって、a＋b と a×b は互いに素である。
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２つの自然数の和が 136 で、 最小公倍数が 255 のとき、 この２つの数を求めよ。
全体集合を自然数とする。( 0 は含まない )
２つの数を x，y とする。
x ＜ y とする。
x と y の最大公約数 を Z とする。
とする。ａ と ｂ は互いに素である。
よって、
と は互いに素である。 ・ ・ ・ ・ 
、 
、 より Z は 136 と 255 の最大公約数である。ユークリッドの互除法 ：
255 ÷ 136 ＝ 1 余り 119
136 ÷ 119 ＝ 1 余り 17
119 ÷ 17 ＝ 7 余り 0
したがって、
を に代入して、 
を に代入して、 
と 
より、 
したがって、 ２つの数は、 51 と 85 である。