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2022.05.25____

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【 問 題 】

59¹⁰¹＋1　は 60 で割り切れることを示せ。

【 解 答 】

n を０以上の整数とすると、次の式が成り立つ。
　　　x²ⁿ⁺¹ ＋ y²ⁿ⁺¹　＝　(x+y) ( x²ⁿ − x²ⁿ⁻¹y ＋ x²ⁿ⁻²y² − x²ⁿ⁻³y³ ＋ ・・・・ ＋ y²ⁿ )
x ＝ a　 y ＝ 1　を代入すると、
　　　a²ⁿ⁺¹ ＋ 1　＝　(a+1) ( a²ⁿ − a²ⁿ⁻¹ ＋ a²ⁿ⁻² − a²ⁿ⁻³ ＋ ・・・・ ＋ 1 )
したがって、 a²ⁿ⁺¹ ＋ 1　は　a+1　で割り切れる。
a ＝ 59　 n ＝ 50　を代入すると、
　　　59¹⁰¹＋1　は 60 で割り切れる。