（１） 漸化式の線形性

以下の漸化式で与えられる２つの数列があります。
　　　　　

２つの漸化式より、 次の式が成り立ちます。
　　　　　
したがって、 も同じ漸化式で与えられる数列であることが解ります。

たとえば、 のとき、
　　　　　

　　　　　

（２） 数列の漸化式から第 ｎ 項を求める方法

　　　　
　の形の漸化式で表される数列の第 ｎ 項 は次の式で表される。
　　　　


これから、 その理由を考えてみましょう。

　 　の形の漸化式で表される数列が、 初項 １ 、 公比 ｒ の等比数列であると仮定すると、 次のように書くことができます。
　　　　　
これを　　に代入すると、
　　　　　
したがって、
　　　　　
（１） の線形性より、
　　　　　


では 、練習問題を解いてみましょう。

問題 ：　次の漸化式で与えられる数列の第 ｎ 項を求めよ。
　　　　　

解答 ：
　　　　　
したがって、
　　　　　
ここで、
　　　　　
したがって、
　　　　　
以上が答えである。 この数列は次のようなものである。
　　　１　　　９　　　31　　　129　　・　・　・　・

　　　　【 別 解 】