（１） 漸化式の基本３型

　　�@ 等差数列型 ：　ａ_n+1 − ａ_n ＝ d
　　�A 等比数列型 ：　ａ_n+1 ＝ ｒａ_n
　　�A 階差数列型 ：　ａ_n+1 − ａ_n ＝ ｆ(n)

（２） 等比数列型漸化式に導く

　　数列 ａ _n の漸化式が次のように与えられている。
　　　　　ａ _n+1 ＝ Ｐ × ａ _n ＋ Ｑ　　・・・ �@
　　この式は、次のように変形できるとする。
　　　　　ａ_n+1 − α ＝ Ｐ（ ａ_n − α ）　　・・・ �A
　　�@ から �A を辺々引くと、
　　　　　α ＝ Ｐα ＋ Ｑ　　← 特性方程式
　　　　　よって、 α ＝ Ｑ / ( １−Ｐ )
　　ｂ_n ＝ ａ_n − α　と置くと、
　　　　　ｂ_n＋1 ＝ Ｐｂ_n
　　　　　ｂ ₁ ＝ ａ₁ − α
　　ｂ_n は 初項 ( ａ₁ − α ) 公比Ｐ の等比数列だから、
　　　　　ｂ_n ＝ ( ａ₁ − α ) Ｐ^n-1
　　よって、
　　　　　ａ_n ＝ ( ａ₁ − α ) Ｐ^n-1 ＋ α
　 　　　　　＝→ ｛ ａ₁ − Ｑ / ( １−Ｐ ) ｝Ｐ^n-1 ＋ Ｑ / ( １−Ｐ )

【 例 題 】

次の漸化式で与えられる数列 ａ _n の第 ｎ 項を求めよ。
　　　ａ _n+1 ＝ −３ａ _n ＋ ４
　　　ａ ₁ ＝ ２


【 解 答 】

特性方程式 ：　α ＝ −３α ＋ ４　を解いて、 α ＝ １
漸化式は次のように変形できる。
　　　ａ_n+1 − １ ＝ −３ ( ａ_n − １ )
ｂ_n ＝ ａ _n − １　と置くと、
　　　ｂ_n＋1 ＝ −３ ｂ _n　　ｂ₁ ＝ １
ｂ_n は初項１ 公比−３ の等比数列である。
よって、 ｂ _n ＝ ( −３ ) ^n−１
よって、 ａ _n ＝ ( −３ ) ^n−１ ＋ １