【 問 題 】

　 自然数の長さの線分が２つある。 長さの差は １ cm である。 これに最大長にならない範囲で任意の正の実数の長さの線分を １ つ加えて、 それぞれの線分の端と端とを合わせて、 直角三角形を作ることにする。 すると、 加えられた線分の長さは、 奇数の正の平方根になっていることを示せ。

【 解 答 】

　 自然数の長さの２つの線分の長さを、 それぞれ、 n cm 、 n+1 cm （ n は自然数 ） とする。 加えられた線分の長さを $ \sqrt {\ P\ } $ cm とすると、 次の式が成り立つ。
　　　　$ P = \ (n+1)^{2} - \ n^{2} $
　　　　　$ = 2n + 1 $
　 上記の式より P は奇数であることが分かる。 よって、 加えられた線分の長さは、 奇数の正の平方根になっている。

【 解 説 】

　 隣り合う自然数の性質として、 加えると奇数になる、 かけると偶数になる、 というのがありますが、 ２乗して差をとると奇数になるという性質もあります。 当然と言えば当然ですね。 ３以上の奇数の２乗は連続する２つの自然数の２乗の差で表されます。 その証拠は上の式になります。
　 では、 7 と 7 の２乗 をそれぞれ連続する２つの自然数の２乗の差で表してください。
　 　　　$ 7 = \ 4^{2} - \ 3^{2} $
　　　　$ 49 = \ 7^{2} = \ 25^{2} - \ 24^{2} $
　　　　　　　　＊ 求め方 ：　$ 49 = 2n + 1 $　より、 $ n = 24$