確率 へ戻る【 問 題 】
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戦力の等しい 63 チーム と 戦力がそれらのチームの２倍のＡチーム の計 64 チームによりトーナメント戦が行われる。
（１） Ａチームがベスト４に入る確率を求めよ。
（２） Ａチームの試合数の期待値を求めよ。
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（１）
64 ＝ ２6 なので、 Ａが優勝するためには６回勝たなければならない。
ベスト４になるには、 それから２を引いて ４回勝たなければならない。
したがって、 答えは、 (2/3)4 ≒ 0.1975
（２）
０勝する確率 ＝ 1/3
１勝する確率 ＝ 2/3 × 1/3
２勝する確率 ＝ (2/3)2 × 1/3
３勝する確率 ＝ (2/3)3 × 1/3
４勝する確率 ＝ (2/3)4 × 1/3
５勝以上する確率 ＝ (2/3)5
よって、 答えは、
１ × 1/3 ＋ ２ × 2/3 × 1/3 ＋ ３ × (2/3)2 × 1/3 ＋ ４ × (2/3)3 × 1/3 ＋ ５ × (2/3)4 × 1/3 ＋ ６ × (2/3)5
＝→ １ × ( 1−2/3 ) ＋ ２ × 2/3 × ( 1−2/3 ) ＋ ３ × (2/3)2 × ( 1−2/3 )
＋ ４ × (2/3)3 × ( 1−2/3 ) ＋ ５ × (2/3)4 × ( 1−2/3 ) ＋ ６ × (2/3)5
＝→ １ − １ × 2/3 ＋ ２ × 2/3 − ２ × (2/3)2 ＋ ３ × (2/3)2 − ３ × (2/3)3 ＋ ４ × (2/3)3
− ４ × (2/3)4 ＋ ５ × (2/3)4 − ５ × (2/3)5 ＋ ６ × (2/3)5
＝→ 1 ＋ 2/3 ＋ (2/3)2 ＋ (2/3)3 ＋ (2/3)4 ＋ (2/3)5
＝→ { 1 − (2/3)6 } ÷ { 1 − (2/3) }
＝→ 2.73662551440329
【 別 解 】
第１回戦を戦う権利を得る確率 ＝ 1
第２回戦を戦う権利を得る確率 ＝ 2/3
第３回戦を戦う権利を得る確率 ＝ (2/3)2
第４回戦を戦う権利を得る確率 ＝ (2/3)3
第５回戦を戦う権利を得る確率 ＝ (2/3)4
第６回戦を戦う権利を得る確率 ＝ (2/3)5
よって、 答えは、
１ × 1 ＋ １ × 2/3 ＋１ × (2/3)2 ＋ １ × (2/3)3 ＋ １ × (2/3)4 ＋ １ × (2/3)5
＝→ 1 ＋ 2/3 ＋ (2/3)2 ＋ (2/3)3 ＋ (2/3)4 ＋ (2/3)5
＝→ { 1 − (2/3)6 } ÷ { 1 − (2/3) }
＝→ 2.73662551440329
＊ 等比数列の ｎ 項までの和 は 大学生のための数学 ＞ 数理論 ＞ 階差数列を使うテクニック を参照にしてください。
プログラムの内容 ：