【 問 題 １ 】

同じ円周上を時計回りに、 点Ａは時速360度、 点Ｂは時速30度の速さで回転している。
今、 時刻は 0 時で、 ２点はちょうど重なっている。
この直後から 11.5 時 までの間に２点は10回重なる。
重なる時刻を合計すると何時になるか？

【 解 答 】

最初に２点が重なる時刻を t 時 とすると、
　　　360 t ＝　360 + 30 t
よって、　t ＝ 12 / 11
その後も t 時間 ごとに２点は重なるので、 答えは、
　　12 / 11　× （ 1＋2＋3＋・・・9＋10 ） ＝→　60　時

【 問 題 2 】

（ 1 + 1 / 11 ） 時　から （ 10 + 10 / 11 ） 時 までの間に、 時計の長針と短針は10回重なる。
重なるのは 12 / 11 時間 ごとであり、
重なる時刻は （ n + n / 11 ） 時 （ ただし、ｎ = 1,2,3,・・・9,10 ） であり、
その時刻の合計は 60 時 である。
以上のことを示しなさい。

【 解 答 】

問 題 １ の解答より、 時計の長針と短針が重なるのは 12 / 11 時間ごとであることがわかる。
時計が０時を示したときから 12 / 11 時間後 も長針と短針が重なる。
つまり、 時計が （ 1 + 1 / 11 ） 時 を示したときも長針と短針が重なる。
指定された時間内で長針と短針が重なる時刻は、 次のようになる。
　　 12 / 11　×　n　＝→ （ n + n / 11 ） 時 （ ただし、ｎ = 1,2,3,・・・9,10 ）
長針と短針が重なる時刻の合計は、
　　（ 1 + 1 / 11 ）＋（ 2 + 2 / 11 ）＋（ 3 + 3 / 11 ）＋ ・ ・ ・ ＋（ 9 + 9 / 11 ）＋（ 10 + 10 / 11 ）
　　　　　　　＝→ （ 1＋2＋3＋・・・9＋10 ） ＋　1 / 11 ×（ 1＋2＋3＋・・・9＋10 ）
　　　　　　　＝→　55 + 5
　　　　　　　＝→　60　時

【 問 題 ３ 】

１日間で時計の長針と短針が重なるのは何回か？

　【 解 答 】

０時台は、 0 ＋ 0 / 11 時に長針と短針が重なる。
１時台は、 1 ＋ 1 / 11 時に長針と短針が重なる。
２時台は、 2 ＋ 2 / 11 時に長針と短針が重なる。
　　　　　　・
　　　　　　・
10 時台は、 10 ＋ 10 / 11 時に長針と短針が重なる。
11 時台は、 長針と短針は重ならない。
12 時台は、 12 ＋ 0 / 11 時に長針と短針が重なる。
13 時台は、 13 ＋ 1 / 11 時に長針と短針が重なる。
14 時台は、 14 ＋ 2 / 11 時に長針と短針が重なる。
　　　　　　・
　　　　　　・
22 時台は、 22 ＋ 10 / 11 時に長針と短針が重なる。
23 時台は、 長針と短針は重ならない。

以上、 １日間で時計の長針と短針が重なるのは 22 回である。

（ 別解 ）

　 １日間で短針は２回転し、 長針は24回転する。 したがって、１日間で短針は長針より22周回遅れになる。 周回遅れが増すたびに長針と短針は重なるのだから、１日間で時計の長針と短針が重なるのは 22 回である。

　 これ以外に、次のような考え方もあります。１日間で長針が短針に追い越すことがないのは２回 あります。11時台 と 23時台 です。（ ０時台 と 12時台 は追い越すと考えます。） ということは、１日間で時計の長針と短針が重なるのは 22 回になります。