ベクトル空間は、集合論（ 群論 ）と 線形代数学 にまたがる概念です。ベクトル空間とは、ベクトルを要素とする集合のことです。その要素に大きさと向きを持った矢印でイメージされる幾何ベクトルを持つ「幾何ベクトル空間」がありますが、その他にもベクトル空間はたくさんあります。

　幾何ベクトル以外のベクトルって何でしょう？　次の性質を全て持つものは全てベクトルです。

・ ベクトル空間という集合の要素（ 元 ）である。
・ ベクトル加法について閉じている。（ ２つの元を加えたものはそのベクトル空間の要素になっている。）
・ スカラー乗法について閉じている。
・ ベクトル加法の結合法則が成り立つ。（ (A＋B)＋C ＝ A＋(B＋C) ）
・ ベクトル加法の交換法則が成り立つ。（ A＋B ＝ B＋A ）
・ ベクトル加法について単位元が存在する。
・ ベクトル加法について逆元が存在する。
・ ベクトル加法に対するスカラー乗法の分配法則が成り立つ。　（ k(A＋B) ＝ kA＋kB ）
・ ベクトル加法に対するスカラー乗法の結合法則が成り立つ。　（ kA＋hA ＝ (k＋h)A ）
・ スカラー乗法の結合法則が成り立つ。　（ h(kA) ＝ (hk)A ）
・ スカラー乗法について単位元が存在する。

　例えば、二次式　a x² ＋ b x ＋ c　もベクトルになります。
　また、実数値を返す関数もベクトルになります。ただし、次のように加法とスカラー乗を定義した場合です。
　　　　( f＋g )(x) ＝ f (x) ＋ g(x)　　　( k f )(x) ＝ k f (x)