毒入りジュースを見破る
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2020.01.24____
【 問 題 １ 】 （ 出典 ： 1000本のワイン ）
ジュースの入ったコップが1000個ある。 そのうち１つに毒が入っている。 人間の五感では区別がつかない。
この毒にだけ反応する試薬が入ったビーカーが10個ある。 ビーカーの中に毒入りのジュースを一滴でも入れると、 試薬は10時間後に急に変色する。
12時間以内にどのジュースの中に毒が入っているのかを判定するにはどうすればいいか？
【 解 答 】
ジュースの入ったコップに２進法で 1 〜 1111101000 の番号を付けます。
試薬の入ったビーカーには、 「 １桁 」 〜 「 10桁 」 という名前を付けます。
これから、 一滴ずつビーカーの中にジュースを入れていくのですが、 次のような規則で入れていきます。 たとえば、 番号 110010 のコップのジュースならば、 「 ６桁 」、 「 ５桁 」、 「 ２桁 」 のビーカー３つだけに入れます。
このような操作を２時間以内に1000個のすべてのコップのジュースに対して行います。そして、最後のコップのジュースの操作が終了して10時間以上経過したときに、 試薬の色を観察します。
そこで例えば、 「 ７桁 」、 「 ５桁 」、 「 ２桁 」、 「 １桁 」 のビーカーの中の試薬が変色しているとすると、 番号 1010011 のコップのジュースの中に毒が入っていることになります。
【 問 題 ２ 】
質量の等しいビーカーの中に50cc の透明な液体が入ったものが５つある。 この中の １ つだけに水と異なる液体Ａが入っていて、 他は水である。 液体Ａの比重は １.１ である。
１ 回だけ質量を計ることによって、 どのビーカーの中に液体Ａが入っているのかを判定するにはどうすればいいか？
【 解 答 】
それぞれのビーカーより、 １cc、 ２cc、 ３cc、 ４cc、 ５cc の液体を取り出して混合し質量を計ります。
すべて水だった場合は 15ｇ になります。 もし、 結果が 15.4ｇ だった場合は、 ４cc の液体を取り出したビーカーの中の液体がＡであると判定できます。
【 問 題 ３ 】 （ 出典 ： ジュニアオリンピック ）
100 個の箱があり、それぞれの箱には 1、 2、 3、 ・・・・ 、99、 100 と番号が書いてあります。 箱の中には書かれている番号と同じ数の毒団子が入っています。 これからある操作を繰り返して毒団子を除去していきます。 その操作とは、 任意の数の箱を選択して、 その中で一番入っている毒団子の少ない箱を見つけ出し、 その箱に入っている数の毒団子を、 選んだすべての箱から除去するというものです。 最低何回の操作ですべての毒団子を除去することができるでしょうか？
【 解 答 】
まず、 箱の番号を２進数に書き換えます。 たとえば 100 は 1100100 になります。
次に、 １ 桁目の数が 1 である箱だけをすべて選んで、 毒団子を 1 個ずつ除去します。
その次に、 2 桁目の数が 1 である箱だけをすべて選んで、 毒団子を 2 個ずつ除去します。
その次に、 3 桁目の数が 1 である箱だけをすべて選んで、 毒団子を 4 個ずつ除去します。
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（ 途中 略 ）
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最後に、 7 桁目の数が 1 である箱だけをすべて選んで、 毒団子を 26 ＝ 64 個ずつ除去します。
以上 7 回の操作で、 最初に 100 と書かれていた箱はどうなったか見てみると、 第 3 回目の操作で 4 個除去され、 第 6 回目の操作で 32 個除去され、第 7 回目の操作で 64 個除去されて空箱になっています。
そういうわけで、 答えは 7 回 です。