【 問 題 １ 】

ｎ が自然数ならば、 は ６で割り切れることを証明しなさい。

【 解 答 その １ 】

ａ が ｄ で割り切れるならば、 は ｄ で割り切れる。
が ｄ で割り切れ、 かつ、 が ｅ で割り切れるならば、 は で割り切れる。


ｎ が自然数ならば、 ｎ または は２で割り切れる。 よって、 は２で割り切れる。

ｋ が ０ 以上の整数ならば、 で作られる整数の集合は、 ０以上の整数の集合に等しい。

　　　 のとき、
　　　　　　　ｎ は ３で割り切れる。
　　　　　　　よって、 は ３で割り切れる。

　　　 のとき、
　　　　　　　 だから、
　　　　　　　 は ３で割り切れる。
　　　　　　　よって、 は ３で割り切れる。

　　　 のとき、
　　　　　　　だから、
　　　　　　　 は ３で割り切れる。
　　　　　　　よって、 は ３で割り切れる。

以上より、 は ３で割り切れる。

６ ＝ ２ × ３

是故 （ そういうわけで ）、 ｎ が自然数ならば、 は ６で割り切れる。

【 解 答 その ２ 】　（ 数学的帰納法 ）

全体集合を自然数とする。
のとき、 だから は ６で割り切れる。
のとき、 は ６で割り切れると仮定する。 つまり次の式が成り立つと仮定する。
　　　　
のとき、
　　　　
したがって、 のとき、 は ６で割り切れることが解る。
よって、 は ６で割り切れることが判った。

【 問 題 ２ 】

全体集合を自然数とします。 次の３つを証明しなさい。
　　　　 は で割り切れる。
　　　　 が偶数のとき、 は で割り切れる。
　　　　 が奇数のとき、 は で割り切れる。

【 解 答 】

の証明 ：
　　　　　


の証明 ：
　　　　　 で、 と置き変えると、
　　　　　　　　　


の証明 ：
　　　　　 で、 と置き変えると、