【 問 題 】

数列の第ｎ項を a_n とし、 数列の第ｎ項までの和を S_n とする。
次の漸化式が成り立つとき、 a_n を n を用いて表せ。
　　S_n ＝ 2a_n−n

【 解 答 】

S₁ ＝ a₁　　・・・ �@
n > 1 のとき、 a_n ＝　S_n − S_n−1　　・・・ �A
与式に n ＝ 1 を代入して、
　　S₁ ＝ 2a₁−1
�@ を上式に代入して、
　　a₁ ＝ 2a₁−1
よって、 a₁ ＝ 1
与式より、
　　S_n+1 ＝ 2a_n+1−(n+1)
この式から与式を辺々引いて、
　　S_n+1 − S_n ＝ 2a_n+1−2a_n−1
よって、 a_n+1 ＝ 2a_n+1−2a_n−1
よって、 a_n+1 ＝ 2a_n＋1
特性方程式：　α ＝ 2α＋1
　　　　　　　よって、 α ＝ −1
したがって、
　　a_n+1＋1 ＝ 2(a_n＋1)
よって、
　　a_n＋1 ＝ (a₁＋1)×2ⁿ⁻¹
よって、
　　a_n＋1 ＝ 2×2ⁿ⁻¹
したがって、
　　a_n ＝ 2ⁿ−1