あるベクトルが存在します。このベクトルの写像を表す演算テンソル ( S ) があります。また、座標変換テンソル ( Ｃ ) があります。座標変換テンソル ( Ｃ ) によって、演算テンソル ( Ｓ ) がどのように変換されるかを考えてみましょう。座標変換された演算テンソル ( Ｓ ) の表現行列を ( ？ ) とします。

　座標変換後の写像ベクトルは、座標変換後のベクトルに座標変換後の演算テンソルを作用させると得られます。ここが私たちが知りたい所です。
　　　座標変換後の写像ベクトル　＝　( ？ ) 座標変換後のベクトル　　・・・ �@

　座標変換前の写像ベクトルは、座標変換前のベクトルに座標変換前の演算テンソルを作用させると得られます。
　　　座標変換前の写像ベクトル ＝ ( S ) 座標変換前のベクトル

　座標変換前のベクトルも座標変換後のベクトルも実質的には同じものです。座標変換前の写像ベクトルも座標変換後の写像ベクトルも実質的には同じものです。

　では、これから実際にやってみましょう。まず、座標変換後のベクトルを座標変換前のベクトルに変換します。そのためには、座標変換後のベクトルに座標変換テンソル ( Ｃ ) の表現行列の逆行列を持つ座標変換テンソルを作用させます。次に、得られた座標変換前のベクトルに座標変換前の演算テンソル ( Ｓ ) を作用させ、座標変換前の写像ベクトルを得ます。最後に、座標変換前の写像ベクトルに対して座標変換テンソル ( Ｃ ) を作用させて、座標変換後の写像ベクトルを得ます。これまでの過程を式で表すと次のようになります。
　　　座標変換後の写像ベクトル　＝　( Ｃ ) ( Ｓ ) ( Ｃ )⁻¹ 座標変換後のベクトル　　・・・ �A

　�@ と �A より、次の式が成り立ちます。
　　　( ？ )　＝　( Ｃ ) ( Ｓ ) ( Ｃ )⁻¹

　上式が、演算テンソルの座標変換を表すものです。