\[ \begin{flalign} e^{ \begin{pmatrix} \ 2 & 0\ \\ \ 0 & 3\ \end{pmatrix} }\ =\ \scriptsize\begin{pmatrix} \ 1 & 0\ \\ \ 0 & 1\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \ 2 & 0\ \\ \ 0 & 3\ \end{pmatrix} + \frac{1}{\ 2\ !\ }\begin{pmatrix} \ 2^{\ 2} & 0\ \\ \ 0 & 3^{\ 2}\ \end{pmatrix} + \frac{1}{\ 3\ !\ }\begin{pmatrix} \ 2^{\ 3} & 0\ \\ \ 0 & 3^{\ 3}\ \end{pmatrix} + \frac{1}{\ 4\ !\ }\begin{pmatrix} \ 2^{\ 4} & 0\ \\ \ 0 & 3^{\ 4}\ \end{pmatrix} + ・・・・&& \end{flalign} \] 　　　 　\( = \scriptsize\begin{pmatrix} \ 1+2+\frac{\ 2^{\ 2}}{\ 2\ !\ }+\frac{\ 2^{\ 3}}{\ 3\ !\ }+\frac{\ 2^{\ 4}}{\ 4\ !\ }+・・・ & 0\ \\ \ 0 & 1+3+\frac{\ 3^{\ 2}}{\ 2\ !\ }+\frac{\ 3^{\ 3}}{\ 3\ !\ }+\frac{\ 3^{\ 4}}{\ 4\ !\ }+・・・\ \end{pmatrix} \)

上記の式は、\(e^{x}\) のマクローリン展開式の \(x\) に行列を代入したものです。

　※ 参照：
　　　 大学生のための数学 ＞ 解析学 ＞ マクローリン展開の例
　　　 大学生のための数学 ＞ 線形代数学 ＞ 固有空間の利用法の１つ
　　　 大学生のための数学 ＞ 線形代数学 ＞ 複素数の行列による表現