x 軸 と y 軸 とが 60度で交わる斜交座標系について考えます。

　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　

　基底ベクトルどうしの内積は次のようになります。
　　　　
　この斜交座標系の双対ベクトル空間の基底を で表すと次の式たちが成り立ちます。
　　　　
　　　　
　　　　　　　　　※　これは計量テンソルではありません。

　　　　　　

　さて、次のようなベクトルがあります。
　　　　　　　
　　　　
　このベクトルの双対ベクトル空間への座標変換は次のようになります。
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　　　　　　　　　　※　計量テンソルの活用
　　　　
　　　　　　　　　　　　

　この斜交座標系の双対ベクトル空間の基底の１つ
　　　　
　この基底の双対ベクトル空間への座標変換は次のようになります。
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　　　　　　　　　



　この斜交座標系の双対ベクトル空間の基底のもう１つ
　　　　
　この基底の双対ベクトル空間への座標変換は次のようになります。
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　　　　　　　　　



※ 追伸： 計量テンソルを用いずに、双対ベクトル空間への座標変換テンソルを求める方法

�@ と �A より、
　　　
�D を �B に代入して、
　　　
�D を �C に代入して、
　　　
�E と �F より、この斜交座標系から双対ベクトル空間への基底変換は次の基底変換テンソルを用いて表される。
　　　
　　　

　斜交座標系から双対ベクトル空間への座標変換は、基底変換テンソルの表現行列の逆行列を表現行列とするテンソルを用いて表される。
　　　

　　　　※ 参照： 大学生のための数学 ＞ 線形代数学 ＞ 斜交座標から斜交座標への座標変換