３次元座標系の z＝1 の平面上で考えます。点Ａ ( x, y, 1 ) を x 軸方向に p 移動させ、かつ、y 軸方向に q 移動させるという写像は、点ＡをベクトルＰ(→) ( p, q , 0 ) の方向にベクトルと同じ大きだけ平行移動させるということです。

　この写像を行列を用いて表すと、次のようになります。
　　　　
　次の行列を「平行移動テンソル」と言うことにしましょう。テンソルとはベクトルの写像を担う演算子のことです。
　　　　
　点Ａの位置ベクトルは ( x, y, 1 ) で表されます。ただし、点Ａが占める座標との混乱を避けるため、位置ベクトルは縦書きで記されることが多いです。
　上記のベクトル写像によって 点Ａ ( x, y, 1 ) は 点Ａ’( x’, y’, 1 ) に移されます。そして、x’と x の関係と y’と y の関係は、それぞれ次のようになっています。