【 問 題 】

(１)　点Ａ( ａ₁ ，ａ₂ )　と　点Ｂ( ｂ₁ ，ｂ₂ )　がある。
　　　原点と点Ａと点Ｂを頂点とする平行四辺形の面積は ａ₁ｂ₂−ｂ₂ａ₁ で表されることを証明せよ。

(２)　原点 と 点Ｐ( 4 ，3 ) と 点Ｑ( 6 ，8 ) を頂点とする平行四辺形の面積を求めよ。

(３)　座標の格子点を頂点とする面積 14 の平行四辺形は無数にあることを証明せよ。

【 解 答 】

(１)
　　　
　　　　 ( ａ₁ ＋ ｂ₁ ) (ａ₂ ＋ ｂ₂ ) − ２ ( ｂ₁ × ａ₂ )
　　　　　　　　　　　　　− ２ × 1 / 2 × ( ａ₁ × ａ₂ ) − ２ × 1 / 2 × ( ｂ₁ × ｂ₂ )
　　　　　　　　　　　＝→　ａ₁ｂ₂ − ｂ₂ａ₁

(２)　上記の式に当てはめて、 答えは　14

(３)　ａ を整数とする。
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　　　　　行列式が １ の表現行列を持つ演算テンソルは、 ベクペアに対して、
　　　　　　　その表現行列の行列式を保ったままの写像を担います。
　　　　　　　　ベクペアの行列式はペアになったベクトルが張る平行四辺形の面積に等しいです。

　　　　原点 と と ( 21 ，21ａ＋11 ) の４つを頂点とする平行四辺形の面積は 14 である。
　　　ａ は 整数だから、４つの点はすべて格子点になる。
　　　したがって、座標の格子点を頂点とする面積 14 の平行四辺形は無数にある。