x y 平面上に点Ｐ( x, y ) があります。原点を起点とするベクトル ＯＰ を考えます。ＯＰ を原点を中心に反時計回りに ω rad/s の一定の速さで回転させます。ただし 0 ≦ ω ≦ π/2 とします。すると、ＯＰ の回転運動は次のベクトルで表されます。

　　　Arcsin｛ ｜ ＯＰ' ☆ ＯＰ ｜ / （ x² ＋ y² ） ｝e_z
　　　　　　ただし、
　　　　　　　　ＯＰ'　(　x cos ω − y sin ω ,　x sin ω ＋ y cos ω　)
　　　　　　　　e_z　は ｚ軸方向の単位ベクトル
　　　　　　　　Ｂ ☆ Ａ は ベクトルＡに対してベクトルＢを外積させる演算を表す。


　Arcsin｛ ＯＰ' ☆ ＯＰ / ( x² ＋ y² ) ｝ ＝　ω　です。確かめてみましょう。

　　　| Ｂ ☆ Ａ |　＝　a_x b_y − a_y b_x　の公式を使って、
　　　　　　｜ ＯＰ' ☆ ＯＰ ｜　＝　x² sin ω ＋ x y cos ω − x y cos ω ＋ y² sin ω
　　　　　　　　　　　　　　　＝→　( x² ＋ y² ) sin ω
　　　よって、　｜ ＯＰ' ☆ ＯＰ ｜ / （ x² ＋ y² ） ＝　sin ω
　　　よって、　Arcsin｛ ｜ ＯＰ' ☆ ＯＰ ｜ / （ x² ＋ y² ） ｝ ＝　ω


　では、次に、ω ＞ π/2　の場合について考えましょう。
　ω を π/2 で割った余りを r とし、ω を r で割った数（ 分数 ）を h とします。
すると、ＯＰ の回転運動は次のベクトルで表されます。

　　　h × Arcsin｛ ｜ ＯＰ' ☆ ＯＰ ｜ / （ x² ＋ y² ） ｝e_z
　　　　　　ただし、
　　　　　　　　ＯＰ'　(　x cos r − y sin r ,　x sin r ＋ y cos r　)