その他の数学 へ戻る次の基底変換テンソルで表される座標変換について考えます。
\( \begin{pmatrix} \ 1 & -1\ \\ \ 2 & \frac{3}{2}\ \end{pmatrix} \)
座標変換テンソルは基底変換テンソルの逆行列です。
\( \begin{pmatrix} \ 1 & -1\ \\ \ 2 & \frac{3}{2}\ \end{pmatrix}^{-1}=\ \begin{pmatrix} \ \frac{3}{7} & \frac{2}{7}\ \\ -\frac{4}{7} & \frac{2}{7}\ \end{pmatrix} \)
したがって、直交座標系から斜交座標系への座標変換は次の式で表されます。
\( \begin{pmatrix} \ x'\ \\ \ y'\ \end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix} \ \frac{3}{7} & \frac{2}{7}\ \\ -\frac{4}{7} & \frac{2}{7}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \ x\ \\ \ y\ \end{pmatrix} \)
\(x\) 軸と \(y\) 軸を異なるスピード回転させながらグリッド幅を次第に変えていき、座標変換後のグリッドになったところで止めます。
\( \color{Green}e_{x}\ が反時計回りにどれだけの角度回転するか？ → \phi_{x}\ ラジアン \)
\( \color{Green}その間に、e_{x}\ が何倍の長さになるか？ → a\ 倍 \)
\( \color{Green}その間に、e_{y}\ が反時計回りにどれだけの角度回転するか？ → \phi_{y}\ ラジアン \)
\( \color{Green}その間に、e_{y}\ が何倍の長さになるか？ → b\ 倍 \)
\[ \begin{flalign} R_{otate}\left(p,\theta\right)=\left(\ p.x\cos\theta-p.y\sin\theta,\ p.x\sin\theta+p.y\cos\theta\ \right)&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} A=\left(1,0\right)&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} W_{x}=\tan^{-1}\left(2\right)&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} a=\sqrt{1^{2}+2^{2}\ }&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} B=\left(0,1\right)&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} W_{y}=\tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} b=\sqrt{1.5^{2}+1^{2}\ }&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} \phi_{x}=0 \color{Blue}←\ 0\ \le\ \phi_{x}\ \le\ W_{x}\ の範囲でスライドさせる&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} S_{a}=\left(1+\left(a-1\right)\frac{\phi_{x}}{W_{x}}\right)&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} R_{otate}\left(S_{a}\cdot A,\ \phi_{x}\right)&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} S_{b}=\left(1+\left(b-1\right)\cdot\frac{\phi_{x}}{W_{x}}\right)&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} R_{otate}\left(S_{b}\cdot B,\ \frac{W_{y}}{W_{x}}\cdot\phi_{x}\right)&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} k=\left[-30...30\right]&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} y-k\cdot\left(\left(S_{a}\cdot A\right).x\sin\phi_{x}+\left(S_{a}\cdot A\right).y\cos\phi_{x}\right)=-\frac{\cos\left(\frac{W_{y}}{W_{x}}\cdot\phi_{x}\right)}{\sin\left(\frac{W_{y}}{W_{x}}\cdot\phi_{x}\right)}\cdot\left(x-k\cdot\left(\left(S_{a}\cdot A\right).x\cos\phi_{x}-\left(S_{a}\cdot A\right).y\sin\phi_{x}\right)\right)\ \ \left\{-10\le x\le10\right\}\ \left\{-10\le y\le10\right\}&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} y-k\cdot\left(\left(S_{b}\cdot B\right).x\sin\left(\frac{W_{y}}{W_{x}}\cdot\phi_{x}\right)+\left(S_{b}\cdot B\right).y\cos\left(\frac{W_{y}}{W_{x}}\cdot\phi_{x}\right)\right)=\frac{\sin\phi_{x}}{\cos\phi_{x}}\cdot\left(x-k\cdot\left(\left(S_{b}\cdot B\right).x\cos\left(\frac{W_{y}}{W_{x}}\cdot\phi_{x}\right)-\left(S_{b}\cdot B\right).y\sin\left(\frac{W_{y}}{W_{x}}\cdot\phi_{x}\right)\right)\right)\ \ \left\{-10\le x\le10\right\}\ \left\{-10\le y\le10\right\}&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} x\cos\left(\frac{W_{y}}{W_{x}}\cdot\phi_{x}\right)+y\sin\left(\frac{W_{y}}{W_{x}}\cdot\phi_{x}\right)=0\ \ \left\{-10\le x\le10\right\}\ \left\{-10\le y\le10\right\}&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} -x\sin\phi_{x}+y\cos\phi_{x}=0\ \ \left\{-10\le x\le10\right\}\ \left\{-10\le y\le10\right\}&& \end{flalign} \]
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