を表現行列とする演算ベクトルの固有値を とし、 固有ベクトルを次のようにすると、
　　　　　　
次の式が成り立つ。
　　　　
　 ここで、 もし が存在するならば、 式の辺々に作用させて、 次の式が成り立つことになる。
　　　　
しかし、 この式は明らかに間違っている。
　 したがって、 が存在しないことが、 が成り立つための必要条件になる。 が存在しないための必要十分条件は、 　の行列式が になることである。 つまり、 次の式が成り立つことである。

　　　　

この式を解くことによって、 固有値を２つ求めることができる。




【 例 題 】

　 という表現行列を持つ演算テンソルの、 大きさが の固有ベクトルとその固有値のペアをすべて示しなさい。


【 解 答 】
　　　　
　　　


【 解 説 】

　 固有ベクトルを
　　　　　　　　　　　 とし、 固有値を とすると、 固有値の定義により、 次の式が成り立つ。
　　　　
が成り立つための必要条件は、 次の式が成り立つことである。
　　　　　　

のとき、 は次のようになる。
　　　　
　　　　
そこで、 に と を代入してみる。 すると、 次のようになる。
　　　　

したがって、 固有ベクトルは次のようになる。
　　　　
は大きさが の固有ベクトルである。

　　


のとき、 は次のようになる。
　　　　
　　　　
そこで、 に と を代入してみる。 すると、 次のようになる。
　　　　

したがって、 固有ベクトルは次のようになる。
　　　　
は大きさが の固有ベクトルである。

　　


【 別 解 】

方針 ：　　に変換される点 を求める。











　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 以下、略 ）