曲線座標系の自然基底 ：

この式は、 次にように一行で書くことができます。

　　　 は、 それぞれ、 曲線、 曲線、 曲線 の接線になっ
　　　　　　ています。

曲線座標系の裏の双対空間 ：
　　　　　　　　　　　

　　　　　自然基底と双対基底の間には、 次の 「 双対基底条件 」 が成り立っています。

曲線座標系の双対基底 ：

この式は、 次にように一行で書くことができます。

　　　　ここで、 双対基底条件がきちんと満たされていることを確認しておきましょう。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以下、省略。

曲線座標系の計量テンソル （ 共変計量テンソル ） の表現行列 ：

曲線座標系の双対空間の計量テンソル （ 反変計量テンソル ） の表現行列 ：

微小ベクトル の大きさ ：

　　　　定義より、 直交座標系では、 次の式が成り立ちます。
　　　　　　　

　　　　定義より、 曲線座標系では、 次の式が成り立ちます。
　　　　　　　

　　　　定義より、 曲線座標系の双対空間では、 次の式が成り立ちます。
　　　　　　　

座標曲線系における計量テンソルの成分表示 ：

　　次の式が成り立ちます。

したがって、 次のようになります。

　　この式と、 定義の式を比べると、 次の式が成り立っていることがわかります。

　　この式は、 次のようにしても導くことができます。

　　また、 次の式も成り立ちます。

　　したがって、 次のようになります。

　　この式と、 定義の式を比べると、次の式が成り立っていることがわかります。

　　この式は、 次のようにしても導くことができます。

以上より、 曲線座標系における計量テンソル （ 共変計量テンソル ） と その双対空間における計量テンソル （ 反変計量テンソル ） の成分表示は、 それぞれ次のようになっていることがわかりました。

共変計量テンソルの表現行列 と 反変計量テンソルの表現行列 とは、 お互いに逆行列になっています。 その理由は、 計量テンソルが双対空間どうしの座標変換テンソルになっているからです。

以上から、 次の式が成り立ちます。
　　　　　

したがって、 次のようになります。
　　　　　

この式をもっと簡単にするために、 これから少し横道に入ります。

計量テンソルの表現行列の逆行列の成分表示は、 次のようなものです。

したがって、 自然基底から双対基底への基底変換式は、 次のようになります。

この式たちから、 次の式たちが成り立ちます。

したがって、

ここで、 横道から元に戻って、 次のように式を変形します。

こうして、 結局、 クリストッフェル記号は、 計量テンソルを用いて次のように表わされることがわかりました。