（１） 曲線座標系における微小変位ベクトル

　次のような３つの座標系があります。

直線座標系 ：
　　　　　　　　　　　　　

曲線座標系 （ その１ ） ：
　　　　　　　　　　　　　

曲線座標系 （ その２ ） ：
　　　　　　　　　　　　　

点 における、 曲線座標系 （ その１ ） の局所的な自然基底 から、 曲線座標系 （ その２ ） の局所的な自然基底 への基底変換は、 次のように表されます。

点 から、 曲線座標系 （ その１ ） における、 ある曲線に沿っての微小変位ベクトルを とすると、 その微小変位ベクトルは、 曲線座標系 （ その２ ） では次のように表されることが知られています。

したがって、 微小変位ベクトルの座標変換式は、 次のようになります。

これを、 成分表示で表すと次のようになります。

これは、 次の反変ベクトル表示の座標変換式に似ています。

したがって、 微小変位ベクトル は反変ベクトル表示です。 したがって、 微小変位ベクトルの座標変換式は次のように表されます。

　　または、

この式は、 最初に 「 知られています 」 といって提示した式たちと同じです。

（２） スカラー場の微分

次のようなスカラー場が存在しているとします。

スカラー場 ：

スカラー場 の、 曲線座標系 （ その１ ） における勾配 ：

スカラー場 の、 曲線座標系 （ その２ ） における勾配 ：

さて、 ここで次の３つの式たちが成り立ちます。

したがって、 次の式が成り立ちます。

この式は、 次のように書くことができます。

また、 成分表示を用いると、 次のようにも表されます。

これらは、 スカラー場 の、 曲線座標系（ その１ ）における勾配 から 曲線座標系（ その２ ）における勾配への座標変換式になっています。 勾配（ スカラー場の微分 ）は、 その座標変換式の形から、 共変ベクトル表示であることがわかります。

　 では、 曲線座標系 （ その１ ） における勾配の 共変ベクトル表示 を 反変ベクトル表示 に変更してみましょう。 次の公式を使用します。

すると、 次のようになります。

（３） ベクトル場の微分

　次の２つの曲線座標系があります。

曲線座標系（ その１ ） ：
　　　　　　　　　　　

曲線座標系（ その２ ） ：
　　　　　　　　　　　

２つの曲線座標系での基底の変換式 ：

したがって、

したがって、 次の６つの式が成り立ちます。

曲線座標系は、 局所的斜交直線座標系が無数に集まって構成されています。 では、 すぐ隣同士の２つの局所的斜交直線座標系の関係はどうなっているのでしょうか？　それを知るためには、 基底の要素たちを微分すればいいのです。

たとえば、

このようにして、 一般的には、 次のように表すことができます。

これは、 次のように１行で書くことができます。

さらに、

ここで、 次のように置きます。

は、 クリストッフェル記号 と言われます。 すると、 上の式は次のようになります。

　 この式は、 が 方向へ微小変化したときは、 方向に 、 方向に 、 方向に の成分を持つベクトルになることを、 意味しています。

　　つまり、次のようになります。

この式の右辺の第１項は、 ベクトルの成分の変化によるベクトルの変化を表し、 第２項は、 基底の変化によるベクトルの変化を表しています。

この式は、 次のようにも表されます。

上式のカッコの中は、 ベクトル場 の反変ベクトル表示の共変微分と言われ、 次のように表わされます。

これは、ベクトル場 の反変ベクトル表示の 方向への共変微分の 方向の成分です。

　 ベクトル場 の反変ベクトル表示の 方向への微分は、 共変微分を用いると、 次のように表されます。