（１） 反時計回りの写像： ベクトル を 反時計回りに θ ラジアン 回転する 写像

（２） 時計回りの座標変換： 基底 を 時計回りに θ ラジアン 回転する 座標変換

　は 基底変換テンソルの表現行列である。

　は 座標変換テンソルの表現行列である。

これらは互いに逆行列である。

（３） ローレンツ変換という直交座標系から斜交座標系への座標変換

　 今回は、 簡単化のため、 空間は１次元であるとし、 光の速さを １ とする単位系を用いることにします。
　 同一方向にそれぞれ速さ ０ 〜 １ の範囲で等速直線移動している多数の物質があります。 それらはある時刻に同じ位置に存在することがあってそこを時空原点とします。 その中の物質Ａ と並走している観察者が観察するとどうなるのかを求めるのがローレンツ変換です。（ 私はローレンツ座標変換と言った方がいいのではないかと思っています。）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　



　は 基底変換テンソルの表現行列である。

　は ローレンツ座標変換テンソルの表現行列である。

これらは互いに逆行列である。

　 物質Ａ が速さ ｖ で等速直線運動している場合、 物質Ａ と並走している観察者の座標系へローレンツ変換を行うと、 単位ベクトルの大きさは 大きくなります。



　の変換となり、 これより、 x ＝ ０ の場合、 ｔ は増大することが判ります。
　の変換となり、 これより、 ｔ ＝ ０ の場合、 x は増大することが判ります。




　 ローレンツ座標変換では　x^２ − ｔ^２　が不変になります。 なぜなら、 それは同一の移動する光子が２つの座標系で同じ速さ １ になる座標変換だからです。 アインシュタインの特殊相対性理論の原理はこのローレンツ座標変換ですが、 私はローレンツ座標変換は相対性理論の原理にはならないと考えています。 なぜなら次のように考えているからです。

　 思い浮かべてください。 遠方に無限の広さを持つ鏡が置いてあり、 ２人の観察者が相対的にその鏡に平行な方向に等速直線運動をしています。 一方が他方のすぐそばを通って追い越した瞬間に、 追い越された方が持っている瞬間発光装置が作動して四方八方に無数の光子が飛び出していきます。 それらの光子のうち、 鏡に反射してから追い越した方に衝突する光子について考えてみましょう。 追い越された方からするとその光子は「 虚像の光子 」であり、 追い越した方が実際に目にする「 実像の光子 」とは違うのです。 電磁波のモデルである光子を現実の物質と同じように考えてはならないと思うわけです。