複素数の二元数表示における２つの基底行列
　　　　　　　

基底行列の行列式
　　　　

基底行列どうしの積
　　　　
　　　　
　　　　

統合行列の第１行第１列の項が実際の複素数を示し、第２行第２列の項はそれに共役な複素数を示している。
　　　　
　　　　

　　　　

複素数の積　（ 二元数表示（ 基底行列方式 ））
　　　　

複素数の積　（ 二元数表示（ 統合行列方式 ））
　　　　


　 基底行列方式において、 　を横軸方向の基底行列とし、 　を縦軸方向の基底行列として、 ２次元直交座標系を作ると、 ガウス平面が出来上がる。 横軸方向の基底行列を「 実数部基底行列 」、 縦軸方向の基底行列を「 虚数部基底行列 」と言うことにすると、「 実数部基底行列 」どうしを掛けると「 実数部基底行列 」になり、「 虚数部基底行列 」どうしを掛けると負の方向を向く「 実数部基底行列 」になり、「 実数部基底行列 」と「 虚数部基底行列 」どうしを掛けると「 虚数部基底行列 」になる。

　 複素数の基底行列は、 基底ベクトルに似ているが、 基底ベクトルの次のような性質は持っていない。
　 同一平面上の方向の異なる基底ベクトル通しを掛ける（ 外積 ）と その平面に垂直な方向の基底ベクトルになる。