【 問 題 １ 】

直線 \( \ y=ax-2a\ \) の原点からの距離 \(L\) を求めよ。

【 解 答 】

直線の点からの距離の公式 より、\(L\) は次のようになります。
\[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ L=\frac{\left|-2a\right|}{\sqrt{a^{2}+1\ }}&& \end{flalign} \] コピペ用テキストエリア（ Ctrl＋v で貼り付け ）：
y=ax-2a a=-1 x^{2}+y^{2}\le1 L=\frac{\left|-2a\right|}{\sqrt{a^{2}+1}} \end{flalign} \]

【 問 題 ２ 】

　\( x\ と\ y\ が\ \small\ x^{2}+y^{2}\ \le\ 1\ \) を満たすとき、
\( \large\frac{\ x+y+2\ }{\ x+y-2\ }\ \) の最小値と最大値を求めよ。

【 解 答 】

線形計画法を使って解答します。

　　

\( a=\large\frac{\ x+y+2\ }{\ x+y-2\ }\ \) と置くと、 \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ \ y=\frac{a-1}{\ a+1\ }x+\frac{\ -2a+2\ }{a+1}&& \end{flalign} \] この直線の原点からの距離 \(L\) は次のようになります。 \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ \ L=\frac{\left|\frac{\ -2a+2\ }{a+1}\right|}{\ \sqrt{\left(\frac{a-1}{\ a+1\ }\right)^{2}+1\ }}&& \end{flalign} \] 直線 \( \ y=\frac{a-1}{\ a+1\ }x+\frac{\ -2a+2\ }{a+1}\ \) が 円 \( \small\ x^{2}+y^{2}\le 1\ \) と共通部分を持つための必要条件は \( L\le 1 \) です。

\( \large\frac{\left|\frac{\ -2a+2\ }{a+1}\right|}{\ \sqrt{\left(\frac{a-1}{\ a+1\ }\right)^{2}+1\ }}\normalsize = 1\ \) を解くと、
　　\( a^{2}-4a+1=1 \)　となって、解の公式より、
　　　　\( a=\frac{\ 4\pm\sqrt{\ 16-4\ }\ }{2}\ \) となって、
　　　　　　　\( a\ =\ 2-\sqrt{\ 3\ } \)　または　\( 2+\sqrt{\ 3\ } \)　になります。
\(a\) がこの２つの解の間にあるとき、 \( L\le 1 \) になります。
したがって、答えは、
　　\( \large\frac{\ x+y+2\ }{\ x+y-2\ }\ \) の最小値は \( \ 2-\sqrt{\ 3\ }\ \)で、最大値は \( \ 2+\sqrt{\ 3\ }\ \) ということになります。


以上のことを Desmos でグラフ化すると理解しやすくなります。
\[ \begin{flalign} x^{2}+y^{2}\le1&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} a\sim\frac{x+y+2}{\ x-y+2\ }&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} y=\frac{a-1}{\ a+1\ }x+\frac{\ -2a+2\ }{a+1}&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} a=0　　\color{Blue}←　0\ \le\ a\le\ 6\ \ でスライドさせる。&& \end{flalign} \] \[ \begin{flalign} L=\frac{\left|\frac{\ -2a+2\ }{a+1}\right|}{\ \sqrt{\left(\frac{a-1}{\ a+1\ }\right)^{2}+1\ }}&& \end{flalign} \]

コピペ用テキストエリア（ Ctrl＋v で貼り付け ）：
x^{2}+y^{2}\le1 a\sim\frac{x+y+2}{\ x-y+2\ } y=\frac{a-1}{\ a+1\ }x+\frac{\ -2a+2\ }{a+1} a=0 L=\frac{\left|\frac{\ -2a+2\ }{a+1}\right|}{\ \sqrt{\left(\frac{a-1}{\ a+1\ }\right)^{2}+1\ }}