【 問 題 】

　２次元平面で考えて下さい。太郎君がいて、目印1 〜 目印4 があります。太郎君からすると、目印3 と 目印4 は、目印1 と 目印2 とを結ぶ直線より手前にあります。また、太郎君からすると、目印2 と 目印4 は、目印1 と 目印3 とを結ぶ直線より手前にあります。
　太郎君にとっての 目印1 の位置ベクトルを A とし、太郎君にとっての 目印2 の位置ベクトルを B とします。目印1 にとっての 目印3 の位置ベクトルを C とし、目印2 にとっての 目印4 の位置ベクトルを D とします。目印3 と 目印4 の中点を P とします。点 P にとっての 目印1 の位置ベクトルを E とし、点 P にとっての 目印2 の位置ベクトルを F とします。

　
A と C は、同じ大きさで、互いに垂直になっています。
B と D は、同じ大きさで、互いに垂直になっています。
このとき、 E と F は、同じ大きさで、互いに垂直になっていることを示してください。

【 解 答 】

　目印1 と 目印2 の中点を原点とし、目印1 から 目印2 へ向かう方向を x 軸とし、それに垂直な軸を y 軸とし、太郎君は y軸 の正の方向にいるものとします。
　目印1 が存在する座標を (−1, 0 ) 、目印2 が存在する座標を ( 1, 0 ) とし、太郎君が存在する座標を ( a, b ) とします。

　 y 軸を x 軸に沿って平行に移動して、原点を 目印1 のところに持ってきます。A の逆ベクトルを反時計回りに 90 度回転させます。y 軸を元に戻します。
　　　目印3 が存在する座標：
　　　　　　
　 y 軸を x 軸に沿って平行に移動して、原点を 目印2 のところに持ってきます。B の逆ベクトルを時計回りに 90 度回転させます。y 軸を元に戻します。
　　　目印4 が存在する座標：
　　　　　　
点 P の座標：
　　　
E の成分：
　　　(−1,−1 )
F の成分：
　　　( 1,−1 )

　E と F の内積は 0 であり、 E も F も大きさは root (2) だから、 E と F は同じ大きさで、互いに垂直になっていることが分かります。