【 問 題 】

　　　　　　　　　　∠ＡＢＣ ＝ 60°
　　　　　　　　　　ＡＤ ＝ ＢＣ ＝ ２
　　　　　　　　　　ＡＢ ＝ ＤＣ ＝ ４
　　　　　　　　　　ＣＥ：ＤＥ ＝ １：３

点Ｅから辺ＡＢに対して垂線をとりその交点をＦとすると、点Ｆは辺ＡＢの中点になることを証明せよ。

【 解 答 】

　　　　　　　

　　　　　　
　　　　　　

基底 が作るベクトル空間の 計量テンソル は次のようになる。
　　　
したがって、点Ｅの反変ベクトル表示から共変ベクトル表示への座標変換は次のようになる。
　　　


なので、基底 に対する双対ベクトル空間の基底（反変基底）を とすると、
　　　
と表されて、点Ｅの共変ベクトル表示は以下のようになる。
　　　
したがって、
よって、点Ｆは辺ＡＢの中点である。

【 ヒント 】

　「計量テンソル」を求めてからそれの逆行列を求めると、それが共変基底から反変基底への基底変換テンソル［ＢＴ］の表現行列（ｂｔ）になります。（ｂｔ）は「ヤコビ行列」と言われます。
　基底変換テンソルの表現行列の逆行列は、座標変換テンソルの表現行列になります。したがって、ヤコビ行列の逆行列は、反変ベクトル（共変基底表示）から共変ベクトル（反変基底表示）への座標変換テンソルの表現行列になります。