§１０． 加速度が小さい場合の電子の力学

　 まず、 物体の持つ質量は、 座標変換で変化するという仮定をしよう。
第１観察者の座標系で移動している物体の質量 は、 第０観察者の座標系では静止している物体となり、 その質量は で表されるとしよう。

　 第１観察者の座標系で、 Ｘ軸の方向に速さ で移動している質量 と電荷 を持つ電子が存在している座標点には、次のような電場と磁場が存在しているとする。

　　　　　電場　　，　　　　磁場　

すると、 この電子には次のような力が働いていることになる。

　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・ ・ ・ ・ ・ ・ ・（ 式 Ａ たち ）

　 これを、 第１観察者に対して、 Ｘ軸の方向に速さ で移動している第０観察者の座標系に変換してみる。 すると、 次のようになる。

　　　　 静止している電荷 を持つ電子が存在している座標点には、 次のような電場が存在
　　　する。
　　　　　　　　

　　　 この電子には次のような力が働いている。
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・ ・ ・ ・ ・ ・ ・（ 式 Ｂ たち ）

　 第１観察者の座標系で、 電子が加速し始めた瞬間の、 加速度と力の関係は、 次の式で表される。
　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・ ・ ・ ・ ・ ・ ・（ 式 Ｃ たち ）
　 つまり、
　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・ ・ ・ ・ ・ ・ ・（ 式 Ｄ たち ）

　 第０観察者の座標系で、 電子が加速し始めた瞬間の、 加速度と力の関係は、 次の式で表される。
　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・ ・ ・ ・ ・ ・ ・（ 式 Ｅ たち ）
　 つまり、
　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・ ・ ・ ・ ・ ・ ・（ 式 Ｆ たち ）

さて、 ローレンツ変換より、 ２つの座標系には次のような関係があることがわかっている。

　　　　　
　　　　　
　　　　　

そこで、 これらを（ 式 Ｆ たち ）に代入して、 次の式たちを得る。

　　　　　
　　　　　
　　　　　

これらを書きなおすと、
　　　　　
　　　　　
　　　　　

　「 加速度は、 静止している物質が移動し始める場合にのみ、 正しいものである。」と定義した上で、 これらの式たちを（ 式 Ｄ たち ）と比較すると、 我々は次のことを言うことができる。

　　　　　縦質量 ：　

　　　　　横質量 ：　




　 以上が、 アインシュタインの言っていることですが、 最後のほうは次のように手直ししたほうがいいのではないかと思います。

「 さて、 ローレンツ変換より、 ２つの座標系には次のような関係があることがわかっています。
　　　　　

そこで、 これらと（式 Ｂ たち）を（式 Ｆ たち）に代入して、 次の式たちを得ます。
　　　　　
　　　　　
　　　　　

これらの式たちに、（式 Ａ たち）を代入すると、 次のようになります。
　　　　　
　　　　　
　　　　　

これらを書きなおすと、
　　　　　
　　　　　
　　　　　

これらの式たちと（式 Ｃ たち）を比較すると、 次のことを言うことができます。

　　　　　運動水平方向質量 ：
　　　　　　　　　　　　

　　　　　運動垂直方向質量 ：
　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　」

　 では、 どうして方向によって質量が異なるのでしょうか？　これで本当にいいのでしょうか？
実は、 質量が速さ により変化するにもかかわらず、 従来の運動方程式を用いてしまったために、 おかしなことになったのです。
そこで、 運動方程式 ：　　を、次のように書き直します。
　　　　　　　・ ・ ・ ・ ・（ 式 Ａ ）

　 この式はいったいどこから来たのでしょうか？　導いてみましょう。
運動垂直方向質量が　　で表されることより、 次の仮説を立てます。
「 静止しているとき物体の質量を で表すと、 その物体に対して速さ で移動している観察者にとって、 その物体の質量（ ）は次のようになる。
　　　　　　　・ ・ ・ ・ ・（ 式 Ｂ ）　　　　　　　」
すると、
　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
以上が、（ 式 Ａ ）の由来です。

　 さてここで、　　と　　とを比べると、 次のようになります。
　　　　　
また、　　と　　とを比べると、 次のようになります。
　　　　　

　 したがって、 運動方程式として（ 式 Ａ ）を採用すれば、 運動水平方向質量 も 運動垂直方向質量 も共に次のようになることがわかります。
　　　　　

　 運動水平方向質量 と 運動垂直方向質量 が等しく上式のようになるということは、 仮定の（ 式 Ｂ ）は真実であると言えそうです。

　 静止している電子が、 一様な電場の中を電気力の作用を受けて移動し始めた。 そして、 速さが になったとき、 その電子の運動エネルギー（ ）は、 次の式より求めることができる。
　　　　　
　　　　　
　　　　　
　　　　　
　　　　　
　　　　　



　 この式より、 私たちは次のような式が成り立っているのではないかと思いつくのですが、 アインシュタインはこのことには一切触れていません。
　　　　　





　　　　　　　　　　　　　　以上が　　でした。

（ 要 約 ） Ist die Tragheit eins Korpers von seinem Energiegehalt abhangig?

　 しかし、 私には論理が飛躍しているように思えてなりません。 そこで、 ここからは、 アインシュタインの論文の行間の意味を勝手に読んだ私の解説になります。


　 ここで、 質量は光子の放出によっても減少するものであり、 また、 座標変換によって変化するものであると仮定します。 そして、 次のように置きます。
　　　　　第１観察者にとっての物体が光子を放出する前の質量を とします。
　　　　　第２観察者にとっての物体が光子を放出する前の質量を とします。
　　　　　第１観察者にとっての物体が光子を放出した後の質量を をします。
　　　　　第２観察者にとっての物体が光子を放出した後の質量を とします。
すると、
　　　　　　　ですから、 上記の式より、
　　　　　　　となります。

　 この式は、 物体がエネルギーを放射することによって質量が減少するということを意味しています。 ということは、 質量とエネルギーは同等ではないかというアイディアが浮かんできます。

　 そこで、　　　と置いてみましょう。
すると、 次のようになります。
　　　　　　　　　 ・ ・ ・ ・ ・ ・（ 式１たち ）
　　　　　　　・ ・ ・（ 式２たち ）

（ 式２たち ）より、 次のようになります。
　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・ ・ ・ ・ ・ ・（ 式３たち ）
（ 式３たち ）より、 次のようになります。
　　　　　

　 この式から、 もし、 エネルギーと質量が同等であると仮定すると、 物体が光子を放出することによって失うエネルギー（ 質量 ）の割合は、 観察のしかたによって異なることのない絶対的なもので、 それは相対性原理を裏切らないことがわかります。

　 ここで、（ 式１たち ）に注目してください。 物体が失ったエネルギー（ 質量 ）が、 物体が静止しているという立場にある第１観察者にとっては であり、 物質が速さ で移動しているという立場にある第２観察者にとっては です。 したがって、 物質のエネルギー（ 質量 ）は、 次のようになっていると仮定することができます。

　　　　「　静止している物体の質量（ エネルギー ）を とし、 その物体に対
　 　　　して速さ で移動している観察者が観察したその物体の質量（ エネル
　 　　　ギー ）を とするとき、 次の式が成り立つ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　」

これを、（ 式３たち ）に当てはめると、 次のようになります。
　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・ ・ ・ ・ ・ ・（ 式４たち ）
（ 式４たち ）を、 次のマクローリン展開式と比較してみます。
　　　　　

すると、（ 式４たち ）は、 本当は次の近似式を表しているのではないかと思われます。
　　　　　

つまり、（ 式３たち ）は、 本当は次の近似式を表しているのではないかと考えられます。
　　　　　

よって、（ 式３たち ）は、 本当は次の式たちを表しているのではないかと考えられます。
　　　　　

　 こうして、 結局、（ 式１たち ）から仮定した式が、（ 式２たち ）の本質を表すものであったことが明らかになりました。

　 以上、 一見、 堂々巡りをしたようですけれど、 結局は、 次の２つの仮定は正しいという結論に到達したことになります。

　　　　エネルギー と 質量 は、 同等である。　（ ）

　　　　速さ で移動している「 静止質量（ ）」の物体の質量（ ）は、 次の方程
　　　　　式で表わされる。