例えば、身長と体重の順序列のデーターを思い浮かべてください。そのようなデーターが \(n\) 個あります。
　　　\( \left(\ x_1,\ y_1\ \right)\ ,\ \ \ \left(\ x_2,\ y_2\ \right)\ ,\ \ ……\ \ \left(\ x_n,\ y_n\ \right) \)

　\(x_n\) と \(y_n\) との間には正の相関があり、このデーターたちを２次元座標係にプロットしていくと、回帰直線　\( y\ =\ ax+b \)　の近くに分布しています。

　\(a\) と \(b\) とを求めるには、次の２変数関数の最小値を求める必要があります。最小２乗法というやつです。 \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ \ f\left(a,b\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(\ y_i-ax_i-b\ \right)^{2}&& \end{flalign} \] 　この関数の \(a\) の偏微分 と \(b\) の偏微分 をとってそれらの値が０になるような \(a\) と \(b\) の値を求めていくわけですが、途中は省略して結果だけを言うと次のようになります。
　　　\( a\ =\ \large\frac{共分散}{\ x\ の分散\ } \)
　　　\( b\ =-\frac{共分散}{\ x\ の分散\ }\ ×\ x\ の平均\ \) ＋ \( \ y\ の平均 \)


では、具体的に回帰直線を求めてみましょう。

　身長　体重
　 140　 43
　 145　 46
　 150　 50
　 155　 53
　 160　 56
　 165　 60
　 170　 64
　 175　 67
　 180　 71
　 185　 75

　 身長の平均： 162.5
　 体重の平均： 58.5
　 身長の分散： 206.25
　 体重の分散： 103.85
　 共分散： 146.25

　以上のデーターより、回帰直線　\( y\ =\ ax+b \)　の \(a\) と \(b\) の値を求めると次のようになります。
　　　\(a\) ＝ 0.709090909090909　　　\(b\) ＝−56.7272727272727

　ここまでのプロセスは次の十進BASIC のプログラムを参考にしてください。

Desmos を使って回帰直線を求めるのはチョー簡単です。

140,43 145,46 150,50 155,53 160,56 165,60 170,64 175,67 180,71 185,75

　以上をテーブル（ 表 ）にして、\(y_1\) をクリックしてから、設定で 回帰直線 を選択すると、次のような数値を打ち出してくれます。
　　　\(a\) ＝ 0.709091　　　\(b\) ＝ −56.72727

　このたびの身長と体重のペアは BMI を用いた理想的なものになっているので、理想的な体重を　身長²（ ｍ² ）× 22　で求める以外に、次の式から求めることもできそうであることが分かりました。
　　　理想体重　＝　0.71 × 身長（ cm ）− 56.7