線形代数学 へ戻る（１） 線形結合
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平面上の点の位置ベクトル
は、基底 
を用いて、 次のように表すことができます。
のような形式を「 線形結合 」といいます。 線形結合は一般的には、 次のように表されます。-
例えば、 ある位置ベクトルを 「 そのベクトルの大きさを２倍にして反時計方向へ４５度回転させた位置ベクトル 」 に対応させるという関数
を考えてみましょう。図 ：
図より、 次の式が成り立っていることがわかります。
したがって、 次の式が成り立っていることがわかります。
また、 図より、 次の式が成り立っていることもわかります。
上記の２つの式が成り立っているとき、 関数
は 「 線形変換 」 であるといいます。 は具体的には、 次のような行列を用いて表されます。
したがって、 行列は線形変換を担う道具であると言われます。 正確には、 この場合の行列はテンソルになっています。 したがって、 行列は 「 線形代数 」 とも言われます。
次の連立方程式は、 行列を用いて、 次のように書き直すことができます。
したがって、 次の式が成り立ちます。
したがって、 次の式が成り立ちます。
この式は、 次のような連立方程式を解くのに応用されます。
（ 解法 ）
という変換は、 線形変換ですので、 行列を用いて表現できるはずです。 やってみましょう。
この行列は、 次の式を表しています。
したがって、 次の式が成り立ちます。
したがって、 次の式が成り立ちます。
上の式は、 関数
が線形変換であることを証明しています。
についての関数が、 
で表されるとき、 次の式が成り立ちます。
のときも、 次の式が成り立ちます。確かめてみましょう。
このような関数式 を「 線形方程式 」と言います。 そして「 線形方程式 」を満足する関数の右辺のことを、「 線形方程式の解 」と言います。 そのうち、 基本となるような関数の右辺を「 基本解 」といい、 その他の解を「 一般解 」といいます。 一般解は、 基本解の線形結合の形で表されます。
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「ある変数
と 
のペアは、 線形方程式 ： 
を満たす。」という命題を本質的命題表現に直すと、 次のようになります。「変数
と に代入すると 線形方程式 ： 
を満たす値のペアで作られる集合は空集合ではない。」この命題は、 真です。 この集合の要素には、 次のような要素たちがあります。
この集合の要素を１行で表すと、次のようになります。
この集合の要素を１行で表すには、次のような方法たちもあります。
線形方程式 ：
の「 基本解 」は１つだけあります。 それは次のようなものです。
線形方程式 ：
の 「 一般解 」 は、 基本解の線形結合で表されます。
「 変関数
に代入すると 方程式 ： 
を満たす関数で作られる集合は、 空集合ではない。」この命題は、 真です。 この集合の要素は、 次の要素だけです。
「変数
と に代入すると 方程式 ： 
を満たす値のペアで作られる集合は空集合ではない。」この命題は、 真です。 この集合の要素には、 次のような要素たちがあります。
この集合の要素を１行で表すと、次のようになります。
方程式 ：
は、 線形方程式ではありません。
連立方程式 ：
の解は、 方程式 ：
の解の集合 と 方程式 ： 
の解の集合 との「 共通部分 」です。「 集合 」という言葉が「 空間 」という言葉に置き換えられている場合があります。 たとえば、「 解の空間 」や「 ベクトル空間 」という表現です。 私は、「 物理学的空間のようにイメージされやすいので、 空間という言葉は使わないほうがいいのではないか。」と考えています。