３次元ベクトルの回転を四元数を用いて行うことができます。

　ベクトルの四元数表現 ：
　　　　　

　 を　　を軸として右ねじの方向に ラジアン回転させたものを とします。 すると、 は次の式で表されます。
　　　　　
ただし、


つまり、
　　　

したがって、
　　　
また、
　　　
　　　したがって、 です。


　 たとえば、 を を軸として右ねじの方向に９０度回転させると、
　になります。 が成り立っているかどうか見てみましょう。

　　　

　　　

　 したがって、 ですので、 きちんと成り立っていることが解りました。 では、 その理由を調べてみましょう。

　　　
　　　
　　　
　　　






　　　
　　　
　　　　
　　　

　　　

　　　

　　　

　　　


　 線形代数学 ＞ ３次元空間での回転　でご紹介しましたように、 原点を起点とする３次元ベクトルが、 原点を起点とする大きさ のベクトルを軸として ラジアン右ネジ方向に回転してできるベクトルは次のようになります。

　　　


※ 参考：　大学生のための数学 ＞ JavaScript ＞ JavaScript＿算数 ＞ 四元数を利用してベクトルを回転させる