四元数の基底行列は次のようになっています。
　　　
そして、基底行列どうしのかけ算は例えば次のようになります。
　　　
これ、何か違和感を感じませんか？
一次変換の表現行列（ テンソルの表現行列 ）に詳しい方はそう感じるのではないでしょうか？
そこで、 i と k を入れ替えて次のようにしてはいかがでしょうか？
　　　
すると、次のように表すことができ、すっきりしますね。
　　　
　　　
　　　
　　　　　　　　
今の四元数ならば、次のように表されます。
　　　
それを、次のように変更しませんか？
　　　
以下、同様です。
　　　
　　　
以上の３つの行列の行列式はそれぞれ次のようになります。
　　　
　　　
　　　
そして、
　　　
　　　　　　
　　　　　　

共役な四元数どうしの演算は次のようになります。
　　　
　　　　　　　　　　　　　　
　　　
　　　　　　　　　　　　　　
　　　
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　

　ある行列 P について、A ＝ PBP⁻¹ が成り立つとき、
２つの行列 A と B は「 共役な行列 」であると言います。

　　　　
　　　　
　　　　




　　　　
　　　　




　　　　
　　　　
　　　　

　四元数の話はこれでおしまいですが、複素数の行列表現が何種類もあることに気づかれた方があるんじゃないでしょうか？　最も簡単な複素数の行列表現は次の方法です。（ i の代わりに h を用いています。）
　　　

　　　
　　　

　この複素数の行列表現の欠点は、行列式が複素数の大きさを表さないことです。その上、h を２乗しても単位実数基底行列の −１倍にならず回転のイメージが湧きません。したがって、この複素数の行列表現はあまりお勧めできません。 一方、e ⁱ のときの i の行列表現は次のように書かれます。（ i の代わりに g を用いています。）

　　　
　　　

　この複素数の行列表現は、行列式が複素数の大きさを表わしており、g を２乗すると単位実数基底行列の −１倍になり回転のイメージが湧きます。というわけで、この複素数の行列表現も次の複素数の行列表現と同様にお勧めです。
　　　


※ 参考：　90 度 回転のイメージ （ 普通の２次元座標系 と ガウス平面 ）