を と表すことにします。
という表現行列を持つ演算テンソル［ ＳＴ ］が持つ２つの大きさが １ の固有ベクトル（ 固有値 λ₁ に対応する と 固有値 λ₂ に対応する ）を新たな基底とする座標変換（ 一般的には直交座標系から斜交座標系への変換となる ）を「 対角化 」といい、 新しい座標系を「 固有空間 」といいます。
と のベクペアを Ｐ とします。
固有空間では（ ＳＴ ）が（ ＳＴ ）' になっているとすると、 次の式たちが成り立ちます。
　　　（ ＳＴ ）' ＝　Ｐ^−１（ ＳＴ ）Ｐ
そこで、 Ｐを「 対角化テンソル 」と言うことにしましょう。

固有空間では が になっているとします。
　　　
固有空間では は が張る直線への射影行列であり、 は が張る直線への射影行列です。
　　　
　　　
　　　
（ ＳＴ ）' ＝ Ｐ^−１（ ＳＴ ）Ｐ　より、 （ ＳＴ ）＝ Ｐ（ ＳＴ ）'Ｐ^−１　だから、
　　　
Ｐ_１ と Ｐ_２ を「 射影行列のペア 」ということにしましょう。
（ ＳＴ ）を の右辺のような形で表すことを「 行列のスペクトル分解 」と言います。

では、 これまでに述べたことを具体的な例で示してみましょう。

したがって、 固有値 λ₁ に対応する大きさ １ の固有ベクトル は次のようになります。
　　　


したがって、固有値 λ₂ に対応する大きさ １ の固有ベクトル は次のようになります。
　　　

と のベクペアを Ｐ とします。




Ｐ_１ と Ｐ_２ は「 射影行列のペア 」です。

したがって、 は次のように表すことができることが分かりました。