線形代数学 へ戻る双対ベクトル空間 ( ２次元 )：
対象となる基底
で構成される斜交直線座標系その双対ベクトル空間の基底
そこに読者的正規直交座標系の基底
を持ち込んでしまったら迷走する。３次元斜交直線座標系における計量テンソルの表現行列：
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基底
で構成される座標系における計量テンソルの表現行列は次のように表されます。
のとき、計量テンソルの表現行列は次のようになります。
３次元斜交直線座標系における双対テンソルの表現行列：
ただし、
かつ
（ 双対条件 ）
双対テンソルは、双対ベクトル空間への基底変換テンソルです。
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双対ベクトル空間の基底を
とすると、
計量テンソルは、双対ベクトル空間への座標変換テンソルです。
計量テンソルは、空間距離の決定因子です。
【 練習問題１ 】
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大きさが１で60度の角度で交わる２つの基底ベクトルが作る２次元斜交直線座標系があります。双対ベクトル空間の２つの基底
を元の斜交直線座標系の基底を用いて表して下さい。-
計量テンソルの表現行列は次のようになります。
双対ベクトル空間の２つの基底は次のようにして求めます。
よって、答えは次のようになります。
-
大きさが１で60度の角度で交わる２つの基底ベクトルが作る２次元斜交直線座標系があります。ベクトル
( 1, 2 ) を 双対ベクトル空間へ座標変換しなさい。-
計量テンソルの表現行列は次のようになります。
したがって、双対ベクトル空間への座標変換は次のようになります。
よって、答えは
’ ( 4, 5 )ちなみに、
は双対ベクトル空間では次のように表されます。
また、
は双対ベクトル空間では次のように表されます。
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大きさが１で60度の角度で交わる２つの基底ベクトルが作る２次元斜交直線座標系があります。ベクトル
( 1, 2 ) の大きさを２とおりの方法で求めなさい。-
第１の方法（ 反変成分と共変成分の内積をとる ）：
＝ 28
よって、答えは root(28)
第２の方法（ 計量テンソルを作用させる ）：
＝ 28
よって、答えは root(28)
斜交直線座標系におけるヤコビ行列とは、正規直交座標系から斜交直線座標系への基底変換テンソルの表現行列のことであり、正規直交座標系から斜交直線座標系への座標変換テンソルの表現行列の逆行列です。
ヤコビ行列の行列式はヤコビアンと言われます。ヤコビ行列の逆行列を表現行列とする座標変換テンソルによって正規直交座標系から斜交直線座標系へ座標変換された図形の面積は、座標変換前に比べてヤコビアンの逆数倍になっています。座標変換前の２つの基底ベクトルが作る面積１の正方形は、座標変換後の２つの基底ベクトルが作る面積がヤコビアンに等しい平行四辺形に対応します。座標変換によってスケールがヤコビアン倍になるわけですから、座標変換後の図形の面積はヤコビアンの逆数倍になるわけです。