（１） 斜交座標系における 反変ベクトル(共変基底表示) と 共変ベクトル(反変基底表示)

元の基底 が作るベクトル空間があり、2次元斜交座標を用いて表します。

　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　

点Ｐの位置を表すのに２つの方法があります。
　　　　 と を用いる方法
　　　　 と を用いる方法

は次のように書くことができます。
　　　
をベクトルで表現するためには、新しい基底 を作る必要があります。
そしてそれは次の条件を満たすものとします。
　　　

　　　　　　
すると次のように書くことができます。
　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　

の方法を 共変基底表示 または 反変ベクトル と言います。
の方法を 反変基底表示 または 共変ベクトル と言います。

　座標変換の際に、元の基底を変換するテンソルを作用させる対象になるものを「共変」といい、元の基底を変換するテンソルの表現行列の逆行列を表現行列とするテンソルを作用させる対象になるものを「反変」といいます。（共変と反変の意味について）

　基底 が作るベクトル空間を 基底 が作るベクトル空間に対する双対ベクトル空間と言います。


（２） 基底変換テンソルの求め方

　　　　　　

　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
これから、基底 から 基底 への 基底変換テンソル を求めてみましょう。

から を辺々引いて
　　　
から を辺々引いて
　　　
と を に代入して、
　　　
と を に代入して、
　　　
と より、
　　　
が 基底 から 基底 への基底変換テンソルの表現行列です。


(ｂｔ)^−１ は次のようにしても求めることができます。
　　　
　は「計量テンソル」と言われます。

　計量テンソルの表現行列は、反変ベクトル（共変基底表示）から共変ベクトル（反変基底表示）への座標変換テンソルの表現行列になります。
　計量テンソルの表現行列の逆行列は「ヤコビ行列」と言われ、共変基底から反変基底への基底変換テンソルの表現行列になります