演算テンソル

　　　　　ベクトル空間の中で、 あるベクトリオを他のベクトリオに変換する （ 写像する ） テンソ
　　　　ルである。
　　　　　ターゲットは、 ベクトリオである。　（ ベクトルはベクトリオに含まれる。）
　　　　　次のような 表現行列 を持つ演算テンソル があるとする。
　　　　　　　　　
　　　　　演算の例は次のようなものである。
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　


　基底変換テンソル

　　　　　基底を別のベクトル空間のものに変換するテンソルである。
　　　　　ターゲットは、 基底である。
　　　　　基底 が存在し、 それは基底 で次のように表現さ
　　　　れるとする。
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　

　　　　　次のような表現行列 をもつ基底変換テンソル があるとする。
　　　　　　　　　
　　　　　演算の例は、次のようになる。
　　　　　　　　　


　座標変換テンソル

　　　　　あるベクトルを、 別のベクトル空間の基底による表示に変換するテンソルである。
　　　　　変換前のベクトルと変換後のベクトルは同一のものである。
　　　　　ターゲットは、 ベクトルである。
　　　　　基底変換テンソル の表現行列の逆行列を表現行列とするテンソルである。
　　　　つまり、 次の式が成り立つ。
　　　　　　　　　

　　　　　次のような表現行列 を持つ座標変換テンソル があるとする。
　　　　　　　　　
　　　　　演算の例は次のようなものである。 変換前と変換後がイコールで結ばれているとこ
　　　　ろに注目。
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　

　その他の２階のテンソル


以上、 ２階のテンソルの分類について、 提案させていただきました。

　 ところで、 下の式は禁じ手です。 なぜなら、 はベクトルに直接作用することができないからです。
　　　　　
この式自体が禁じ手なのですが、 これをさらに次のように展開すると混乱が生じます。
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　


　 さて、 これから、「 を基底とするベクトル空間での、 演算テンソルの作用によるベクトルの写像 」を「 を基底とするベクトル空間での、 演算テンソルの作用によるベクトルの写像 」に座標変換してみましょう。
　 写像前のベクトルは、 ２つのベクトル空間で同一のベクトルであり、 かつ、 写像後のベクトルも、 ２つのベクトル空間で同一のベクトルです。
　 を基底とするベクトル空間における、 ベクトルの写像の例は、 次のようなものです。
　　　　　

　 を基底とするベクトル空間 から を基底とするベクトル空間への ベクトルの座標変換の例は、 次のようなものです。
　　　　　
　 私たちの求めるものは、 次のベクトルです。
　　　　　
　 これを求めるには、 まず、 ベクトル を座標変換前のベクトル空間へと座標変換をし、 それに、 演算テンソル を作用させて写像を得、 それを再び座標変換後のベクトル空間へと座標変換してやればいいのです。 この手順は次の式で表されます。
　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　注目 ：　　 や の演算が行われるたびに、 基底が
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　入れ替わっています。

　 したがって、 演算テンソル については、 座標変換後のベクトル空間では、 その表現行列が次の式に従って変換されていることがわかります。
　　　　　

　 この式を導くのに、 他の方法もあります。 先に座標変換してその写像を求めたものと、 先に写像を求めてから座標変換したものとは、 等しくなってなければなりませんので、 次の式が成り立つからです。