思い浮かべて下さい。無重力宇宙空間にＡ君とＢ君がいて、全く違う方向を向いています。Ａ君もＢ君も自転をしていません。Ａ君の座標系（ と と からなる３次元 ）における Ｂ君の座標系（ と と からなる３次元 ）の方向をどのように表現すればいいでしょうか？

Ａ君の座標系におけるＢ君の座標系の 方向の基底ベクトルを とします。
Ａ君の座標系におけるＢ君の座標系の 方向の基底ベクトルを とします。
Ａ君の座標系におけるＢ君の座標系の 方向の基底ベクトルを とします。
すると、Ａ君の座標系におけるＢ君の座標系の方向は次のように表現されるものとします。
　　　

　　　　　※　ちなみに上記の行列は、基底変換テンソルの表現行列になっています。
　　　　　　　　（ ただし、Ａ君の座標系の基底 から Ｂ君の座標系の基底 への基底変換 ）
　　　　　　　 線形代数学 ＞ 新しいベクトルの表記法と２階のテンソルの分類法の提唱
　　　　　※　ちなみに上記の行列は、座標変換テンソルの表現行列になっています。
　　　　　　　　（ ただし、Ａ君の座標系 から Ｂ君の座標系 への座標変換 ）
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　

　　　　　※　物理学では、Ａ君の座標系を私の座標系、Ｂ君の座標系を他人の座標系とし、
　　　　　　　Ｂ君の座標系 から Ａ君の座標系 への座標変換を行います。

　この表現法を用いると、たとえば、Ｂ君の座標系の はＡ君の座標系と同じ方向であり、Ｂ君の座標系の はＡ君の座標系の と同じ方向であり、Ｂ君の座標系の はＡ君の座標系の と反対方向である場合、Ａ君の座標系におけるＢ君の座標系の方向は次のように表されます。
　　　
この行列の行列式は１です。そして、逆行列は次のようになります。
　　　
この逆行列は、Ｂ君の座標系からＡ君の座標系への座標変換テンソルの表現行列です。