数列 Ａ（ｎ）の漸化式が与えられて第 ｎ 項を ｎ を用いて表しなさいという問題の解法は、 特性方程式を作ってその解を求め漸化式を変形し、 別の等比数列の形に持って行くのが普通ですが、 行列を用いる解法もあります。

　　　　　参考 ：　数理論　＞　解ける漸化式づくりのための特性方程式


（１）　Ａ（ｎ＋１） ＝ −３ Ａ（ｎ） ＋ ４　　　　Ａ（１）＝ ２

　一般的な解法 ；

特性方程式 ：　α ＝ −３α ＋ ４　　→　　α ＝ １
Ａ（ｎ＋１）− 1　＝　−３（　Ａ（ｎ）− １ ）
Ｂ（ｎ） ＝ Ａ（ｎ）− １　と置く
Ｂ（ｎ） ＝ −３Ｂ（ｎ）　　　Ｂ（１） ＝ １
よって、　Ｂ（ｎ） ＝ （−３）^ｎ−１
よって、　Ａ（ｎ） ＝ （−３）^ｎ−１ ＋ １

　行列を用いる解法 ：

　行列を用いる解法 （ 別 解 ） ：

ケーリーハミルトンの定理 ：　Ａ^２ −（ａ＋ｄ）Ａ ＋（ａｄ−ｂｃ）Ｅ　＝　０ 　より
　　　Ａ^２ ＋ ２Ａ − ３Ｅ　＝　０
よって、 （ Ａ−Ｅ ）（ Ａ＋３Ｅ ） ＝　０　　　・ ・ ・
より、
　　　Ａ （ Ａ＋３Ｅ ）− Ｅ （ Ａ＋３Ｅ ） ＝　０
　　　よって、 Ａ （ Ａ＋３Ｅ ）＝　Ｅ （ Ａ＋３Ｅ ）
　　　よって、 Ａ^ｎ （ Ａ＋３Ｅ ）＝　Ｅ ^ｎ （ Ａ＋３Ｅ ）
　　　よって、 Ａ^ｎ＋１ ＋ ３Ａ^ｎ　＝　Ａ＋３Ｅ　　　・ ・ ・
より、
　　　Ａ （ Ａ−Ｅ ）＋ ３Ｅ （ Ａ−Ｅ ） ＝　０
　　　よって、 Ａ （ Ａ−Ｅ ）＝　−３Ｅ （ Ａ−Ｅ ）
　　　よって、 Ａ^ｎ （ Ａ−Ｅ ）＝ （−３Ｅ） ^ｎ （ Ａ−Ｅ ）
　　　よって、 Ａ^ｎ＋１ − Ａ^ｎ　＝ （−３） ^ｎ （ Ａ−Ｅ ）　　　・ ・ ・

辺々 より、
４Ａ^ｎ　＝ ｛ １−（−３） ^ｎ ｝ Ａ ＋ ｛ ３＋（−３） ^ｎ ｝ Ｅ

（２）　Ａ（ｎ＋２） − ５Ａ（ｎ＋１） ＋ ６ Ａ（ｎ） ＝　０　　　　Ａ（１）＝ １　　Ａ（２）＝ ４

　一般的な解法 ；

特性方程式 ：　α ^２ −５α ＋ ６ ＝ ０　　→　　（ α − ２ ）（ α − ３ ） ＝ ０　　→　　ｒ ＝ ２, ３
Ａ（ｎ＋２）− ２Ａ（ｎ＋１）　＝　３ ｛ Ａ（ｎ＋１）− ２Ａ（ｎ） ｝
Ａ（ｎ＋２）− ３Ａ（ｎ＋１）　＝　２ ｛ Ａ（ｎ＋１）− ３Ａ（ｎ） ｝
Ｂ（ｎ） ＝　Ａ（ｎ＋１）− ２Ａ（ｎ）　　　Ｃ（ｎ） ＝　Ａ（ｎ＋１）− ３Ａ（ｎ）　と置く
Ｂ（ｎ＋１） ＝　３Ｂ（ｎ）　　　Ｂ（１） ＝ ２
Ｃ（ｎ＋１） ＝　２Ｃ（ｎ）　　　Ｃ（１） ＝ １
よって、　Ｂ（ｎ） ＝　２・３ ^ｎ−１　　　Ｃ（ｎ） ＝　２ ^ｎ−１
よって、
　　　Ａ（ｎ＋１） ＝　２・３ ^ｎ−１ ＋ ２Ａ（ｎ）　　　・ ・ ・
　　　Ａ（ｎ＋１） ＝　２ ^ｎ−１ ＋ ３Ａ（ｎ）　　　・ ・ ・
辺々　 より、
　　　０　＝　２ ^ｎ−１ − ２・３ ^ｎ−１ ＋　Ａ（ｎ）
　　　よって、 　Ａ（ｎ） ＝　２・３ ^ｎ−１ − ２ ^ｎ−１

　行列を用いる解法 ；