客観的固定的な 「 読者的座標系 」 の中で 点Ｐ が自由に移動しています。
　 ある時刻での点Ｐの原点からの距離を ｒ とします。
　 x 軸方向を 始線 とし、 その時刻での点Ｐの 偏角 を θ とします。
　 点Ｐは、 読者的座標系では （ ｒ cos θ ， ｒ sin θ ） と表されます。
　 新しい直交する基底 を作ります。 ただし、 次のような条件を与えます。
　 「 点Ｐの位置ベクトルを とすると、 常に次の式が成り立っていること。　　」

　 点Ｐは、 新しい座標系では常に （ ｒ，０ ） と表されます。ただし、ｒ は時間と共に変化します。
　 この新しい座標系を 「 随伴自転座標系 」 と言うことにしましょう。
　 一般的には 「 極座標系 」 と言われていますが、・・・・。
　　　　　　※ 参考： 大学生のための数学 ＞ その他の数学 ＞ ホンマの極座標変換
　 以上の条件より、 の偏角は θ です。 時間の変化に伴って は自転します。

　 「 随伴自転座標系 」 における 点Ｐ の加速度は 軸方向です。（マイナス方向も含みます）

　 「 読者的座標系 」 において、 時刻 ｔ における、 の回転速度を求めてみましょう。
　　　　
　 「 読者的座標系 」 において、 時刻 ｔ における、 の回転速度を求めてみましょう。
　　　　

　 点Ｐの速度は次のようになります。
　　　　　
　 点Ｐの加速度は次のようになります。
　　　　　

　 「 読者的座標系 」 における等速円運動を 随伴座標系の基底を用いて表す と、つまり、等速円運動を「 読者的座標系 」から随伴座標系へ座標変換する と、次のように等速円運動の速度や加速度を簡単に求めることができます。
　　 を と に代入して、
　　　　　


【 問 題 】

　Ｂ君とＡ君が同じ場所にいる。彼らは移動している物質Ｃを観察している。ただし、Ｂ君はじっとして、Ａ君は物質Ｃが常に真右側になるようにしながら。
　もし物質Ｃが２人を中心にして等速円運動をするならば、「物質Ｃの速度は、物質Ｃの２人に対する位置ベクトルに対して垂直であり、かつ、物質Ｃの加速度は、物質Ｃの２人に対する位置ベクトルと反対方向になっている」ということを、Ｂ君の座標系における物資Ｃの運動を Ａ君の座標系の基底を用いて表す ことにより、証明せよ。

【 解 答 】

Ｂ君の座標系の基底を次のように表します。
　　　
Ａ君の座標系の基底を次のように表します。
　　　
　時刻ｔのとき、Ｂ君の座標系では、物質Ｃは 軸の正の部分上に乗っている半直線を原点を中心に反時計回りに φ ラジアン回転させた半直線上の原点からｒの距離の所に存在するとします。したがって、Ｂ君の座標系における時刻ｔでの物質Ｃの位置ベクトルを とすると、次のように表されます。
　　　

ここで、少し話を脱線させます。
時刻ｔのときのＢ君の座標系からＡ君の座標系への基底変換を次の式で表します。
　　　
この変換式で次のように基底変換されます。
　　　
　　　
物質Ｃの位置ベクトルをＢ君の座標系からＡ君の座標系に座標変化すると、次のようになります。
　　　
　　　　　
　　　　　


では、話を元に戻して、答えを導いていきましょう。
弧の長さ ＝ 中心角 × 半径 より　　だから、次の式が成り立ちます。
　　　
弧の長さ ＝ 中心角 × 半径 より　　だから、次の式が成り立ちます。
　　　
Ｂ君の座標系における 時刻ｔでの物質Ｃの位置ベクトルを Ａ君の座標系の基底を用いて表したもの を とすると、次のように表されます。
　　　
Ｂ君の座標系における 時刻ｔでの物質Ｃの速度を Ａ君の座標系の基底を用いて表す と、次のようになります。
　　　
　　　　　　　
Ｂ君の座標系における 時刻ｔでの物質Ｃの加速度を Ａ君の座標系の基底を用いて表す と、次のようになります。
　　　
　　　　　 　
　　　　　 　

　もし、物質Ｃが、Ｂ君の座標系において原点を中心として半径 ｒ 角速度 ω の等速円運動をしているとするなら、
　 　だから、これらを と に代入して、
　　　
　　　
より、「物質Ｃの速度は、物質Ｃの位置ベクトルに対して垂直である。」ということがわかります。
より、「物質Ｃの加速度は、物質Ｃの位置ベクトルと反対方向になっている」ということが分かります。

【 参 考 】

位置ベクトル：
　　　
速度：
　　　
加速度：