（８） 法則の証明

　 全体集合になっているその集合の条件を「 法則 」 と言うことにします。 公理や定理も法則に含まれます。 法則には、 全体集合の条件が重要になります。 例えば、「 数は２乗すると０以上の数になる。」 というのが法則になるためには、 全体集合の条件が実数であることが必要になります。 ある集合が全体集合になっていることの証明の方法の１つは、 その集合が包含する部分集合が全体集合になっていることを明らかにすることです。

　 たとえば、 全体集合が、 次のような変数 の６組のカルテットであるとします。
　　　　　

　　　　変数 にそれぞれの値を代入したときに、
　　　　を満たすカルテットたちで構成される集合を集合Ａとする。
　　　　変数 にそれぞれの値を代入したときに、
　　　　を満たすカルテットたちで構成される集合を集合Ｂとする。
　　　　集合Ａは集合Ｂの部分集合である。
　　　　　　　　　　　（ 　ならば　　である。）
　　　　集合Ａは全体集合である。
　　　　したがって、 集合Ｂは全体集合である。
　　　　したがって、 はこの全体集合の条件の下で法則である。

　 もし全体集合の中に というカルテットが入ってきた場合は、 は法則ではありますが、 それが証明されたことにはなりません。 なぜならば、 は集合Ａに属さないので、 集合Ａは全体集合ではなくなるからです。

（９） 論理学的な数学の問題の解き方

問題１ ：
　　を解け。


（ 解答 ）
その解答が　　であると仮定すると、 次の命題Ａは真である。
　　　　命題Ａ ：　「 は、 変数 に代入すると を満足する数で構成
　　　　　　　　　　される集合に属する。」
命題Ａが真であるための必要十分条件は、 次の命題Ｂが真であることである。
　　　　命題Ｂ ：　「 は、 変数 に代入すると を満足する数で構
　　　　　　　　　　成される集合に属する。」
命題Ｂが真であるための必要十分条件は、 次の命題Ｃが真であることである。
　　　　命題Ｃ ：　「 は、 変数 に代入すると を満足する数で構
　　　　　　　　　　成される集合に属する。」
　「 変数 に代入すると を満足する数 」 は、 または であるので、 は または である。
したがって、 この問題の解答は である。



問題２：
　についての恒等式　 が成り立つような
　　　　　　 の値を求めよ。


（ 解答 ）
解答が　　であると仮定すると、 次の命題Ａは真である。
　　　　命題Ａ ：「 に代入すると を満足する数で構成
　　　　　　　　　される集合は、 全体集合である。」
命題Ａが真であるための必要十分条件は、 次の命題Ｂが真であることである。
　　　　命題Ｂ ：「 に代入すると を満足する数で構
　　　　　　　　　成される集合は、 全体集合である。」
　 命題Ｂが真であるための必要十分条件は、 次の明らかに真である命題Ｃと命題Ｂが同一の命題であることである。
　　　命題Ｃ ：「 に代入すると を満足する数で構成される集合
　　　　　　　　は、 全体集合である。」
命題Ｃと命題Ｂとが同一になるための必要十分条件は、 次の式が成り立つことである。
　　　　
したがって、 この問題の解答は である。



問題３ ：
　 についての方程式 が少なくとも１つの正の解
　　　　　　　を持つように の範囲を定めよ。


（ 解答 ）
の解を　　と仮定する。
ここで、 　と置く。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ただし、 ２次方程式の解の公式を用いた。
すると、次のようになる。
　　　　　
　 さて、 のどちらかが正の数になるための必要条件は、 次の式が成立することである。 なぜなら、 ２つともが複素数の解では駄目だから。
　　　　　
この式が成立するための必要十分条件は、 次の式が成立することである。
　　　　　
さて、 題意を満たすための必要十分条件は次の様なものである。
　　　「 この方程式が、
　　　　　　　　２つの正の解を持つ、 または、
　　　　　　　　 と １つの正の解を持つ、 または、
　　　　　　　　異符号の解を持つ　　　　　　　　　　　　」
が成立するための必要十分条件は、 次のようなものである。
　　　　　
そのための必要十分条件は、 次のようなものである。
　　　　　
そのための必要十分条件は、 次のようなものである。
　　　　　
が成立するための必要十分条件は、 次のようなものである。
　　　　　
そのための必要十分条件は、 次のようなものである。
　　　　　
そのための必要十分条件は、 次のようなものである。
　　　　　
が成立するための必要十分条件は、 次のようなものである。
　　　　　
そのための必要十分条件は、 次のようなものである。
　　　　　
そのための必要十分条件は、 次のようなものである。
　　　　　
または または より、 答えは次のようになる。