（３） 運動方程式から運動量保存の法則を導く

と より、
　　　　
　　　　
　　　　

これが、 運動量保存の法則です。

（４） 運動方程式から力学的エネルギー保存の法則を導く

全体的ベクトル的運動方程式を、 変位ベクトルではなくて速度を用いて書き直します。

　　　　


と より、
　　　　
　 ここで、 と は向きが同じで、 と は向きが同じなので、 の左辺は、 次のようになります。
　　　　
　 また、 は、 ボールの三角台に対する相対的な速度を表していますので、 その向きは、 三角台の斜面の向きであり、 の向きと直角になります。 そこで の右辺は次のようになります。
　　　　
したがって、 は次のようになります。
　　　　
さて、 一般的に次に式が成り立ちます。
　　　　
したがって、 は次のようになります。
　　　　
両辺を で積分すると、
　　　　

これが、 力学的エネルギー保存の法則です。