数理論 へ戻る（１） ２でも５でもない素数
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２でも５でもない素数の一の位の数は、 ５以外の奇数です。 ５以外の奇数は １ から ９ までのどの自然数をかけても一の位が０の数にはなりません。 したがって、 ２でも５でもない素数は 10ｎ （ ｎ は自然数 ） の約数ではありません。 したがって、 ２でも５でもない素数の逆数は有限小数ではありません。
フェルマーの小定理 ：
「 素数 ｂ と ｂ の倍数でない整数 ａ があるとき、 ａｂ −１ を ｂ で割った余りは １ である。」
２でも５でもない素数は10の約数ではありません。 したがって、 フェルマーの小定理より、 次の命題は真になります。
「 Ｐが２でも５でもない素数であれば、 10Ｐ −１− １ は Ｐ で割り切れる。 」
したがって、 Ｐが２でも５でもない素数であるとき １ / Ｐ は循環小数になります。 その理由については、 十進BASIC ＞ 十進BASIC＿算数 ＞ 循環小数に変換 をご覧ください。 なお、 循環小数でない無限小数は、 有理数ではなく無理数です。
十進BASIC のプログラムで確かめてみましょう ：
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「 Ｋ ＝ ２ｍ × ５ｎ （ ｍ と ｎ は ０以上の整数 ） ならば、 １/Ｋ は有限小数である。」
という命題が真であることを証明しましょう。
ｍ ≦ ｎ のとき
ｍ ＞ ｎ のとき
「 １/Ｋ ＝ Ｌ / 10 ｎ （ Ｌ と ｎ は 自整数 ） ならば、 １/Ｋ は有限小数である。」
という命題は真ですので、 １/Ｋ は有限小数であることが判りました。
ちなみに、 「 Ｋ が自然数であり、 かつ、 １/Ｋ が有限小数であるならば、 Ｋ は ２ｍ × ５ｎ （ ｍ と ｎ は ０以上の整数 ） の形に素因数分解できる。」 という逆の命題も真です。 ただし、 「 Ｌ が有限小数であるならば、 １ / Ｌ は ２ｍ × ５ｎ （ ｍ と ｎ は ０以上の整数 ） の形に素因数分解できる。」 という命題は偽です。 なぜなら、 Ｌ ＝ 0.3 のとき １ / Ｌ ＝ 3.3333・・・ だからです。
プログラムの内容 ：