曲線座標系の基底の変換 ：

　 と が双対基底の場合は、　

　 まず、 思い出してください。 １つの斜交直線座標系での、 ベクトルの表示方法の比較は次の変換式に従います。
　　( 双対斜交直線空間の間での、 ベクトルの表示方法の比較は次の変換式に従います。）

　　　　　　　　＊ コメント ：
　　　　　　　　　　　双対空間は、 ある座標系が持っている裏面であり、 その座標系と一体の
　　　　　　　　　　ものであると考えます。 双対空間が別の空間であると考えるならば、 （　 ）
　　　　　　　　　　のような表現になります。

　 次に、 思い出してください。 ２つの斜交直線座標系での、 ベクトルの各表示方法の比較は、 次の変換式に従います。

　　　　反変ベクトル表示の座標変換式 ：
　　　　　　　　

　　　　共変ベクトル表示の座標変換式 ：
　　　　　　　　

これから、 ２つの曲線座標系でのベクトルの座標変換について考えましょう。 曲線座標系といっても、 それは局所的斜交直線座標系ですから、 一般的な２つの斜交直線座標系でのベクトルの座標変換と同様です。

　　つまり、

　　つまり、

これは、 上記の、 双対空間どうしの曲線座標系での反変ベクトル表示から共変ベクトル表示への変換式によく似ています。

　　つまり、